Resolver $y' + \frac{1}{2}xy + y^{2} = 0$

Question

Estoy tratando de resolver la EDO $$y' + \frac{1}{2}xy + y^{2} = 0.$$ Mathematica da que la respuesta es $$y(x) = \frac{e^{-x^2/4}}{C + 2\int_{0}^{x/2}e^{-t^{2}}\, dt}.$$ Por supuesto, si tomo esta respuesta y la introduzco en la EDO, soy capaz de obtener la respuesta, pero ¿cómo se deriva esta solución de la EDO?

Si multiplico la EDO por $e^{x^{2}/4}$ entonces $$(e^{x^{2}/4}y)' = -e^{x^{2}/4}y^{2}$$ pero entonces esto da $$e^{x^{2}/4}y = -\int_{0}^{x}e^{s^{2}/4}y(s)^{2}\, ds.$$ ¿Cómo se llega desde aquí a la solución que me dio Mathematica?

Answer 1

Lo que se busca es un factor integrador. Si multiplicas toda la ecuación por $e^{-x^2/4}$ observa que puedes hacer la simplificación

$$ e^{-x^2/4}y' + \frac{1}{2}xe^{-x^2/4} y + e^{-x^2/4}y^2 \;\; \Longrightarrow\;\; e^{-x^2/4}\frac{y'}{y^2} + \frac{1}{2}x e^{-x^2/4} \frac{1}{y} + e^{-x^2/4} \;\; =\;\; 0. $$

Observemos ahora que podemos simplificar esta expresión reescribiéndola como

\begin{eqnarray*} -e^{-x^2/4}\frac{y'}{y^2} - \frac{1}{2} xe^{-x^2/4} \frac{1}{y} & = & e^{-x^2/4} \\ \frac{d}{dx} \left ( \frac{e^{-x^2/4}}{y} \right ) & = & e^{-x^2/4}. \end{eqnarray*}

Integrando ambos lados obtenemos

$$ \frac{e^{-x^2/4}}{y} \;\; =\;\; \int_0^{x/2} e^{-t^2} dt + C $$

y por lo tanto

$$ y(x) \;\; =\;\; \frac{e^{-x^2/4}}{C + \int_0^{x/2} e^{-t^2}dt}. $$

Answer 2

A partir del resultado que has obtenido, está bastante claro que hay un primer cambio de variable $y=\frac 1z$ que, tras la simplificación, da como resultado $$2z'-x z-2=0$$ Integración de $2z'-xz=0$ da $$z=C e^{\frac{x^2}{4}}$$ y luego $$C'=e^{-\frac{x^2}{4}}$$ es decir $$C=\sqrt{\pi }\, \text{erf}\left(\frac{x}{2}\right)+K$$ y luego el resultado.