Necesito saber el valor de las integrales $$ \dfrac{\int_{\Omega} f(\mathbf{x})\,d^3\!\mathbf{x}} {\int_{\Omega} 1\,d^3\!\mathbf{x}}, $$ donde $\Omega$ es un dodecaedro rómbico de radio unitario y $f(\mathbf{x}) = x^2,\,y^2,\,z^2,\,x^2y^2,\,x^2z^2,\,y^2z^2,\,x^4,\,y^4, $ y $z^4$ . ¿Existe una buena forma de calcularlos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Obsérvese en primer lugar que, por simetría, las integrales de $x^2$ , $y^2$ y $z^2$ son iguales, por lo que sólo hay que calcular uno de ellos. Lo mismo ocurre con las demás funciones, por lo que sólo hay que calcular, por ejemplo, los casos $f(\mathbf{x})=z^2$ , $f(\mathbf{x})=x^2y^2$ y $f(\mathbf{x})=z^4$ . El caso $f(\mathbf{x})=1$ conduce al volumen del sólido, que es ${16\sqrt3\over9}a^3$ , donde $a$ es la longitud de una arista.
Una disposición conveniente de un dodecaedro rómbico puede establecerse como sigue:
a) cuatro rombos con vértice común $(0,0,2)$ , vértices intermedios $(\pm1,\pm1,1)$ y vértices inferiores $(\pm2,0,0)$ , $(0,\pm2,0)$ ;
b) cuatro rombos con vértices superiores $(\pm1,\pm1,1)$ , vértices intermedios $(\pm2,0,0)$ , $(0,\pm2,0)$ y vértices inferiores $(\pm1,\pm1,-1)$ ;
c) cuatro rombos con vértices superiores $(\pm2,0,0)$ , $(0,\pm2,0)$ , vértices intermedios $(\pm1,\pm1,-1)$ y el vértice común $(0,0,-2)$ .
Obsérvese que tiene una longitud de arista de $\sqrt3$ , por lo que el volumen es $16$ . El rombo puede entonces dividirse en $12$ pirámides, cada una con una cara como base y $(0,0,0)$ como vértice.
Por simetría, la contribución de una pirámide de los grupos a) y c) a cualquiera de las tres integrales $\int_{\Omega}z^2\,d^3\!\mathbf{x}$ , $\int_{\Omega}x^2y^2\,d^3\!\mathbf{x}$ y $\int_{\Omega}z^4\,d^3\!\mathbf{x}$ es el mismo, por lo que basta con calcular uno de ellos y multiplicar el resultado por $8$ . Lo mismo ocurre con las pirámides del grupo b): basta con calcular una integral y multiplicar por $4$ .
EDITAR.
Por ejemplo, en el caso de la cara con vértices $(0,0,2)$ , $(1,1,1)$ , $(0,2,0)$ y $(-1,1,1)$ (grupo a) anterior) la integral sobre la pirámide correspondiente debe ser: $$ 2\int_0^1 dx\int_x^{2-x}dy\int_x^{2-y}\!dz\ f(\mathbf{x}), $$ mientras que para la cara con vértices $(2,0,0)$ , $(1,1,1)$ , $(0,2,0)$ y $(1,1,-1)$ (grupo b) anterior) la integral es $$ 4\int_0^1 dy\int_y^{2-y}dx\int_0^{y}\!dz\ f(\mathbf{x}). $$ Puede comprobar que para $f(\mathbf{x})=1$ ambas integrales se evalúan en $4/3$ como debe ser.
Por supuesto, al final debe escalar sus resultados por la potencia adecuada de $\sqrt3$ para obtener los valores correctos del borde $\ =1$ caso.
