Modelo de un sistema de calefacción en una nave industrial

Question

Quiero modelar un sistema de calefacción en una nave industrial. El sistema consta de: una instalación de calefacción, una bomba, 2 tuberías (cada tubería tiene 500 metros de longitud) y una máquina herramienta. El calor necesario para la máquina-herramienta está dado. Se supone que la instalación de calefacción y la bomba son ideales (entrada a la bomba = caudal másico). La temperatura de retorno de la instalación también es constante. En una primera prueba quiero ajustar el retardo de la tubería a un tiempo constante (que no dependa del caudal másico).

El objetivo es escribir este sistema como un conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas con las entradas "Estaño y flujo másico". Mi pregunta: ¿Es este un sistema de ecuaciones diferenciales? ¿Cómo puedo incluir el retraso de la tubería en las ecuaciones? ¿Existe (en un siguiente paso) una ecuación simple para la tubería para captar el siguiente comportamiento: Si hay un cambio en la temperatura en la entrada, la temperatura de salida debe cambiar como una función de: la geometría de la tubería y el flujo de masa.

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

El balance térmico de este sistema puede escribirse como (en $\mathrm{W/s}$ ):

$$\dot{Q}=\dot{Q_1}+\dot{Q_2}+\dot{Q_3}$$

Dónde $\dot{Q_2}$ es la energía térmica consumida por la máquina herramienta y $\dot{Q_1},\dot{Q_2}$ pérdidas de calor respectivamente en la tubería de alimentación y en la de retorno.

Suponiendo un flujo de masa constante $\dot{m}$ y la capacidad calorífica específica $c_p$ del fluido térmico, entonces:

$$\dot{Q_2}=\dot{m}c_p(T_2-T_3)$$

Si suponemos que ambas tuberías son idénticas, de paredes finas y con pérdidas por convección únicamente, entonces

$T_2=T_{amb}+(T_1-T_{amb})e^{-\alpha L}$

$T_4=T_{amb}+(T_3-T_{amb})e^{-\alpha L}$

Dónde $\alpha=\frac{\pi Dh}{\dot{m}c_p}$

Con $D$ el diámetro de la tubería, $L$ la longitud de la tubería, $h$ es el coeficiente de transferencia de calor de la tubería y $T_{amb}$ es la temperatura ambiente.

También se puede demostrar que:

$$\dot{Q_1}=\dot{m}c_p(T_1-T_{amb})(1-e^{-\alpha L})$$

Y:

$$\dot{Q_3}=\dot{m}c_p(T_3-T_{amb})(1-e^{-\alpha L})$$

Así que:

$$\dot{Q}=\dot{m}c_p(T_1-T_{amb})(1-e^{-\alpha L})+\dot{m}c_p(T_3-T_{amb})(1-e^{-\alpha L})+\dot{m}c_p(T_2-T_3)$$

Por supuesto, también:

$$\dot{Q}=\dot{m}c_p(T_1-T_4)$$