Solución analítica de una ecuación diferencial no lineal de segundo orden

Question

En el marco de la física de los semiconductores, me encuentro ante una inteligente pero difícil EDO no lineal de segundo orden: \begin{equation} \tag{$E$-ODE} \label{eq:E-ODE} \boxed{ \phi_T \frac{\mathrm{d}^2 E}{\mathrm{d}{x}^2} + E \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{x}} - \frac{e N_D}{\varepsilon} E = \kappa \text{.} } \end{equation} Prefiero considerar las condiciones de contorno generales, ya que estoy buscando una solución analítica general.

La ecuación puede reescribirse como

\begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2 E}{\mathrm{d}{x}^2} = -\frac{1}{\phi_T} E \frac{\mathrm{d}{E}}{\mathrm{d}{x}} + \frac{e N_D}{\varepsilon \phi_T} E + \frac{\kappa}{\phi_T} \text{.} \end{equation*} Configuración \begin{equation*} \begin{aligned} & y \left( x \right) \equiv E \left( x \right) \\ & a \equiv -\frac{1}{\phi_T} \\ & b \equiv \frac{e N_D}{\varepsilon \phi_T} \\ & c \equiv \frac{\kappa}{\phi_T} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}{x}^2} = a y \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} + b y + c \end{equation*} Uso de notaciones abreviadas para las derivadas: \begin{equation} \tag{$y$-ODE} \label{eq:y-ODE} \boxed{ y'' = a y y' + b y + c \text{.} } \end{equation}

Aquí están mis intentos :

• es una ecuación diferencial no lineal de segundo orden;
• es una ecuación autónoma : $y'' = F \left( y, y' \right)$ ;
• es una ecuación de Liénard : \begin{equation} \tag{Liénard} \label{eq:Liénard} y'' + f \left( y \right) y' + g \left( y \right) = 0 \text{,} \end{equation} con $f \left( y \right) = - a y$ y $g \left( y \right) = - b y - c$ .
• con la sustitución $w = y'$ es una ecuación de Abel de segundo tipo: \begin{equation} \tag{Abel} \label{eq:Abel} w w'_{y} + f \left( y \right) w + g \left( y \right) = 0 \end{equation}

He intentado buscar en libros de texto dedicados, por ejemplo en Polyanin Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias pero tengo la impresión de que mi ODE no tiene analítica solución...

¿Qué te parece? ¿Alguno de vosotros ve o conoce una forma de resolver esta ecuación?

Si me lo piden, podría proporcionar las condiciones de contorno para algún problema específico.

Nota: : Estoy familiarizado con la resolución numérica de las EDO, pero esto no es lo que estoy buscando aquí.

Muchas gracias por adelantado,

Léopold

Answer 1

$$\frac{d^2y}{dx^2}=ay\frac{dy}{dx}+by+c$$ Se trata de una ODE autónoma. Se puede reducir al primer orden, gracias al cambio habitual :

$\frac{dy}{dx}=u(y) \quad\to\quad \frac{d^2y}{dx^2}=u\frac{du}{dy}\quad\to\quad u\frac{du}{dy}=a\,y\,u(y)+b\,y+c$

Se trata de una EDO de Abel del segundo tipo.

El cambio $\quad u(y)=\frac{1}{v(y)}\quad$ conduce a una EDO de Abel del primer tipo : $$\frac{dv}{dy}=-(b\,y+c)v^3-a\,y\,v^2$$ Para seguir avanzando, consulte :

https://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2