Polinomios y ortogonalidad

Question

Dejemos que $V$ sea el espacio vectorial de todos los polinomios $f$ de la forma $$f : x a_0 + a_1x + a_2x^2$$

para todo real x tal que $0 x 1$ . Aquí $a_0, a_1, a_2$ son números reales. Demuestra que $V$ es un espacio tridimensional sobre R. Demuestre que $$(f, g) = ^1_0 f(x)g(x)dx$$ es un producto interno sobre $V$ . Encuentre una función $f$ tal que $f$ es ortogonal a $x$ , ortogonal a $x^2$ y $f = 1$ .

Esto es lo que yo me planteo:

$\{1,x,x^2\}$ es una base de $f(x)$ en el grado 2. $V$ es un espacio tridimensional sobre $R$ por la definición de dimensión.

Entonces demuestro que $$(f, g) = ^1_0 f(x)g(x)dx$$ por las propiedades del producto interior: positividad, aditividad en la primera ranura y homogeneidad en la primera ranura.

Pero, me quedé atascado encontrando la función $f$ . Supongo que tengo que mostrar $\langle f,f \rangle = f_0f_0+f_1f_1+f_2f_2 = 1 $ para satisfacer $||f||=1$ . Pero no sé cómo encontrar la función $f$ que es ortogonal a $f$ y $f^2$ .

Gracias por adelantado. ¡Se necesitan sugerencias y ayudas!

Answer 1

Hay dos enfoques naturales para encontrar $f$ :

1. Dejemos que $f=a_0+a_1x+a_2x^2$ . $0=\langle f,x\rangle$ le dará una ecuación lineal en $a_0, a_1, a_2$ . Entonces $0=\langle f,x^2\rangle$ te dará otro tal. Entonces puedes tomar cualquier solución y normalizarla, u obtener una tercera ecuación (no lineal) de $1=\langle f,f\rangle$ .

2. Si $\{x,x^2\}$ fueran ortogonales, se podría restar la proyección de $f$ en cada uno de ellos, y el resultado sería ortogonal a ambos (como en Gram-Schmidt). Por lo tanto, en lugar de eso, se podría utilizar GS para encontrar una base ortogonal para Span( $x,x^2$ ), y luego restar la proyección de $f$ en cada uno de estos vectores.

Answer 2

Pista: Queremos un polinomio $p:p(x)=\alpha_0+\alpha_1x+\alpha_2x^2$ , de tal manera que $$\begin{array}{rcl} \langle p,x\rangle & = & 0 \\ \langle p,x^2\rangle &=&0\\\langle p,p\rangle &=&1 \end{array}$$