Simplicidad y aislamiento del primer valor propio asociado a algunos operadores diferenciales

Question

Considere el operador $\Delta$ o más generalmente un operador diferencial de segundo orden $L$ en la que la parte principal es simétrica y definida positiva. Se puede demostrar (ver aquí página 336) que el primer valor propio " $\lambda_1$ " de $L$ es simple, es decir, el espacio generado por las funciones propias asociadas a $\lambda_1$ es unidimensional. Además, $\lambda_1$ está aislado.

Lo mismo ocurre con el $p$ -Operador de lugar $\Delta_p$ ( $1<p<\infty$ ) donde $\Delta_p u=\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$ Para este resultado, véase aquí página 20.

Podemos generalizar este resultado a un operador más general $\Delta_\Phi$ , llamado $\Phi$ -Laplaciano donde $\operatorname{div}(\Phi(|\nabla u|\nabla u)$ (ver aquí y sus referencias).

Así que mis preguntas son: ¿Por qué tanto esfuerzo en demostrar tal resultado? ¿Cuál es la intuición que hay detrás de ese resultado? ¿Hay alguna aplicación física?

Observación 1: Obsérvese que si $\Phi(t)=t^{p-2}$ , entonces tenemos el $p$ -Operador de lugar.

Observación 2: En los casos no lineales, la simplicidad debe entenderse como la propiedad de que si $u$ es una función propia asociada a $\lambda_1$ entonces $u=c\varphi_1$ , donde $\varphi_1$ es una función propia asociada a $\lambda_1$ .

Gracias

Answer 1

La simplicidad del primer valor propio rige el comportamiento de los problemas parabólicos asociados al operador. Los límites inferiores del tamaño de la brecha entre el primer y el segundo valor propio permiten hacer afirmaciones cuantitativas sobre el comportamiento asintótico. Para ver por qué, expanda $u$ en funciones propias de $\mathcal L$ , digamos que $u=\sum c_j u_j$ . Suponiendo que $\mathcal L$ es lineal y positivo, el flujo de gradiente $U_t=-\mathcal L U$ tiene solución $$U=\sum c_j e^{-\lambda_j t}u_j\tag1$$ donde $\lambda_j$ es el valor propio de $u_j$ .

Como $t\to \infty$ (1) nos dice que $u$ es asintótica a una combinación lineal de funciones propias para el menor valor propio. Si sabemos que $\lambda_1$ es simple, la declaración es más precisa: $$e^{\lambda_1 t}U\to c_1 u_1\tag2$$ Y si podemos limitar la brecha espectral $\lambda_2-\lambda_1$ desde abajo, entonces se puede estimar la tasa de convergencia en (2).

La búsqueda de "spectral gap" (coincidencia exacta sólo en el resumen) en Physics ArXiv trae 340 documentos . Puedes probar algunos para ver lo que los físicos hacen con este material.

No sé nada sobre el uso de las brechas espectrales para no lineal operadores, pero el papel Hacia un cálculo de las brechas espectrales no lineales de Mendel y Naor sugiere que son útiles en la informática teórica.