geodésica en el espacio métrico y en los colectores

Question

En el libro de ''Metric spaces of non-positive curvature'' de Bridson y Haefliger tenemos la siguiente definición para una geodésica en un espacio métrico:

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Un mapa $c:[0,l]\longrightarrow X$ es una geodésica si para todo $s,t \in [0,l]$ tenemos $d(c(s),c(t))=\vert t-s \vert$ .

Hasta aquí todo bien. En el ejemplo que se encuentra debajo de esta definición se indica lo siguiente:

Subrayamos que las trayectorias que comúnmente se denominan geodésicas en la geometría diferencial no tienen por qué ser geodésicas en el sentido métrico; $\textbf{in general they will only be local geodesics}$ .''

Supongo que se refieren al ''sentido métrico'' de la métrica en nuestro colector que es inducido por nuestra métrica riemanniana. Si no, no sé a qué se refieren.

Pero si esto es cierto estoy bastante confundido al respecto, ya que $\gamma:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2, t \longmapsto 2t$ es una geodésica en sentido riemanniano (si consideramos la métrica riemanniana estándar sobre $\mathbb{R}^2$ con conexión inducida). Pero esto nunca será una geodésica local en el sentido métrico, ya que $d(\gamma(s),\gamma(t))=2\vert t-s \vert$ para todos $s,t \in [0,1]$ .

¿Dónde falla mi pensamiento? Y si no falla, ¿cuál es la conexión entre las geodésicas en el sentido métrico y el sentido riemanniano?

Answer 1

He visto definiciones en las que se declaran geodésicas en un espacio métrico a las curvas que satisfacen $$d(c(s), c(t)) = v|t-s|,$$ para algunos $v\ge 0$ . Ver aquí por ejemplo. La definición que ha utilizado podría llamarse "geodésica de velocidad unitaria en $(X, d)$ ".

Lo que los autores quieren decir es que las geodésicas en la geometría de Riemann pueden no ser geodésicas en su sentido, incluso si es de velocidad unitaria. Un ejemplo sencillo es la curva $c (t) = [t]$ en el colector unidimensional $\mathbb R/\mathbb Z$ con la métrica euclidiana. Dado que $c(0) = c(1)$ ,

$$d(c(0), c(1)) = 0 \neq 1 = |1-0|.$$

Por otro lado, si $c(t)$ es una geodésica de velocidad unitaria en una variedad riemanniana $(M, g)$ , entonces para cada $t_0$ , hay $\epsilon>0$ para que $c|_{[t_0-\epsilon, t_0+ \epsilon]}$ es la minimización de la longitud y $c|_{[t_0-\epsilon, t_0+ \epsilon]}$ es una geodésica en el sentido del espacio métrico. De ahí el término "geodésica local".