En el libro de ''Metric spaces of non-positive curvature'' de Bridson y Haefliger tenemos la siguiente definición para una geodésica en un espacio métrico:
Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico. Un mapa $c:[0,l]\longrightarrow X$ es una geodésica si para todo $s,t \in [0,l]$ tenemos $d(c(s),c(t))=\vert t-s \vert$ .
Hasta aquí todo bien. En el ejemplo que se encuentra debajo de esta definición se indica lo siguiente:
Subrayamos que las trayectorias que comúnmente se denominan geodésicas en la geometría diferencial no tienen por qué ser geodésicas en el sentido métrico; $\textbf{in general they will only be local geodesics}$ .''
Supongo que se refieren al ''sentido métrico'' de la métrica en nuestro colector que es inducido por nuestra métrica riemanniana. Si no, no sé a qué se refieren.
Pero si esto es cierto estoy bastante confundido al respecto, ya que $\gamma:[0,1] \longrightarrow \mathbb{R}^2, t \longmapsto 2t$ es una geodésica en sentido riemanniano (si consideramos la métrica riemanniana estándar sobre $\mathbb{R}^2$ con conexión inducida). Pero esto nunca será una geodésica local en el sentido métrico, ya que $d(\gamma(s),\gamma(t))=2\vert t-s \vert$ para todos $s,t \in [0,1]$ .
¿Dónde falla mi pensamiento? Y si no falla, ¿cuál es la conexión entre las geodésicas en el sentido métrico y el sentido riemanniano?
