significado de topología y espacio topológico

Question

Después de mirar el artículo de la Wikipedia sobre el espacio topológico, sigo sin poder captar intuitivamente lo que es el espacio topológico. Por ejemplo, si vamos a definir la topología en los números reales, ¿puede haber muchos modelos de espacio topológico, y por qué es importante definir la topología en los números reales?

Edición: para decirlo simplemente, lo que realmente necesito es algún concepto formal o intuitivo de la topología y el espacio topológico que me permita captar el significado de la topología y el espacio topológico.

Gracias.

Answer 1

La idea intuitiva que recoge la topología es la de la separación (en algún sentido) de los puntos y subconjuntos de un conjunto. La intuición es más obvia en las topologías más básicas (menos interesantes y más extremas); la topología discreta (la colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado) donde cada dos puntos y cada dos subconjuntos se pueden separar y la topología indiscreta (el conjunto vacío y el propio conjunto) donde ningún punto y ningún subconjunto se pueden separar de otro.

Definir una topología (por ejemplo, la elección de conjuntos abiertos) no significa otra cosa que precisar algún sentido de la separación. Las topologías más interesantes y bonitas son las que se encuentran entre las topologías discretas e indiscretas, porque describen otros tipos de separación que los capturados por las topologías discretas e indiscretas.

Por lo tanto, intuitivamente, la topología ofrece herramientas para modelar la noción de separación en un conjunto de forma similar a como ... digamos la teoría de grupos ... ofrece herramientas para capturar la noción de simetría en un conjunto.