significado de topología y espacio topológico

Question

Después de mirar el artículo de la Wikipedia sobre el espacio topológico, sigo sin poder captar intuitivamente lo que es el espacio topológico. Por ejemplo, si vamos a definir la topología en los números reales, ¿puede haber muchos modelos de espacio topológico, y por qué es importante definir la topología en los números reales?

Edición: para decirlo simplemente, lo que realmente necesito es algún concepto formal o intuitivo de la topología y el espacio topológico que me permita captar el significado de la topología y el espacio topológico.

Gracias.

Answer 1

Esta pregunta es antigua... pero aún así voy a intentarlo.

Antes de entender qué es una topología, es importante entender qué es un conjunto sin una topología. Sin una topología, un conjunto se asemeja a una bolsa cerrada llena de elementos: Estamos en el exterior de la bolsa y, por lo que podemos ver, cada objeto de la bolsa es indistinguible de cualquier otro objeto de la bolsa; es fácil ver que dos, o tres, o cuatro objetos son únicos, pero más allá de esto, es difícil decir realmente algo sobre cualquier objeto en particular. Los objetos son simplemente allí y la única propiedad que podemos asignar de forma muy veraz a la bolsa (conjunto) en sí es el número de objetos que contiene la bolsa (conjunto). En otras palabras, la cardinalidad es la noción central, y de hecho la única, que define un conjunto (en la medida en que los elementos se relacionan entre sí).

Por supuesto, en la práctica, rara vez trabajamos con conjuntos cuya única propiedad es la cardinalidad. Trabajamos con la línea real, en la que existe una noción bien definida de distancia entre elementos; incluso hay un orden que se impone a los elementos del conjunto. Trabajamos en el plano euclidiano, donde ya no hay un orden útil y bien definido entre elementos arbitrarios, pero ahora hay una noción de vectores, que tienen una noción de longitud unida a ellos (distancia desde el punto de origen), e incluso de ángulo entre ellos. Lo más importante es que todas estas propiedades espaciales y geométricas, la estructura añadida que hace que conjuntos como el espacio euclidiano sean tan interesantes, son inherentemente relaciones entre elementos . El conjunto ya no tiene sólo cardinalidad, sino que ahora tiene formas bien definidas de relacionar los elementos entre sí.

Veamos cómo se relacionan algunas de estas propiedades en el plano euclidiano. La geometría del plano euclidiano deriva, en muchos sentidos, de su producto interior. A partir del producto interior, podemos derivar una fórmula para el coseno de un ángulo entre vectores, y de ahí surge la noción de ángulo. También podemos definir una fórmula para una norma, una longitud, de los vectores en el espacio. Así, a partir del ángulo, derivamos la noción de longitud. A partir de la norma, podemos derivar una fórmula para la distancia: Vemos que un espacio llamado producto interior implica también la estructura de un espacio llamado lineal normado, y a partir de éste, encontramos la estructura también de un espacio métrico. Estamos descendiendo a través de propiedades geométricas de nivel cada vez más bajo: El ángulo es una noción geométrica más fuerte que la longitud, y la longitud es una noción más fuerte que la distancia.

Esto nos lleva a preguntarnos: ¿Qué geometría conserva un espacio cuando ni siquiera podemos medir una noción de distancia entre elementos? ¿Qué relación queda? ¿Cuál es la mínimo relación geométrica de la que puede estar dotado un conjunto? La topología ofrece la respuesta de proximidad . Al definir una topología sobre un conjunto, un matemático proporciona barrios explícitos para cada punto: define explícitamente qué conjuntos de objetos se consideran cerca de entre sí. Cada conjunto abierto en una topología representa esta idea geométrica de muy bajo nivel, que ni siquiera se basa en la "distancia". Lo sorprendente de la topología de conjuntos de puntos es que, a través de sus teoremas, llegamos a aprender cómo la forma en que se consideran los puntos cerca de entre sí, así como la forma en que pueden distinguirse, cómo pueden separarse y cuántos hay, afectan a nuestra capacidad para definir relaciones como "distancia", "ángulo", "integridad" y "longitud", que corresponden a nuestra intuición para tales ideas. Así, desde una perspectiva geométrica, la topología de conjuntos de puntos comienza en gran medida con la declaración explícita de qué objetos de un conjunto están "cerca" unos de otros, y explora las implicaciones que esta jerarquía de vecindades tiene en la estructura geométrica del conjunto.

Answer 2

Un espacio topológico no es más que un conjunto con una topología definida en él. Una topología es una colección de subconjuntos de tu conjunto que has declarado "abierto". Pero declarar que un conjunto es "abierto" no es suficiente: queremos que nuestros conjuntos abiertos sean "agradables" de alguna manera, y queremos ser capaces de realizar operaciones de conjunto sobre ellos para preservar esta amabilidad.

El ejemplo más intuitivo es la línea real. Probablemente hayas aprendido en un curso de introducción al análisis que un subconjunto $U \subseteq \mathbb{R}$ es "abierto" si para cada punto $x \in U$ hay algo de $\varepsilon > 0$ tal que $(x-\varepsilon, x+\varepsilon) \subseteq U$ . De forma equivalente, si $\left| x-y \right| < \varepsilon$ entonces $y \in U$ . Esta "apertura" tiene algunas buenas propiedades. Esto se generaliza naturalmente a $\mathbb{R}^n$ donde entra la noción de "balón abierto". A saber:

• Si tiene cualquier colección de conjuntos abiertos entonces su unión es abierta
• Si tienes una colección finita de conjuntos abiertos entonces su intersección es abierta

Estos conjuntos son "bonitos" por todo tipo de razones, y gran parte de la motivación proviene del análisis.

(Para completar, debo añadir que el conjunto vacío y el conjunto completo se declaran siempre como conjuntos abiertos).

Este es sólo un ejemplo de una topología de $\mathbb{R}$ A menudo se llama "topología euclidiana" (o incluso "topología habitual"), pero es la más natural para su uso en el análisis.

Una topología sobre un conjunto es en realidad una generalización de esto. Se puede pensar (al principio) que los conjuntos abiertos son uniones de intervalos abiertos, y que la forma en que se cruzan y demás se comporta de la misma manera. Por supuesto, esto dista mucho de lo que dicen las topologías en realidad. Por ejemplo, la topología cofinita (una versión unidimensional del Topología de Zariski ) no se comporta en absoluto como la topología euclidiana: por ejemplo, en la topología euclidiana es posible encontrar dos conjuntos abiertos disjuntos y no vacíos (por ejemplo $(0,1)$ y $(2,3)$ ), mientras que en la topología cofinita dos conjuntos abiertos cualesquiera se cruzan en un número incontable de lugares.

Espero que esto ayude; aunque no estoy del todo seguro de qué tipo de explicación buscabas.

Answer 3

Esta es una forma un poco anticuada de ver la topología. Dejemos que $X$ sea un conjunto. Para cada $x$ en $X$ tenemos un conjunto no vacío $N(x)$ de subconjuntos de $X$ que pensamos que es el conjunto de barrios de $x$ . El conjunto $N(x)$ debe satisfacer algunas propiedades intuitivas:

1. Si $U$ es una vecindad de $x$ entonces $x \in U$ .

2. Todo el conjunto $X$ es una vecindad de $x$ .

3. Si $U$ es una vecindad de $x$ y $U \subseteq V$ entonces $V$ es una vecindad de $x$ .

4. Si $U$ y $V$ son barrios de $x$ Así es $U \cap V$ .

5. Si $U$ es una vecindad de $x$ entonces hay un subconjunto $V$ tal que $U$ es una vecindad de cada punto de $V$ .

En un lenguaje más sofisticado, decimos que $N(x)$ es un filtro del conjunto de subconjuntos de $X$ que contiene $x$ que satisface el axioma adicional (5). Obsérvese que no suele haber una vecindad mínima: por ejemplo, hay que convenir que cada intervalo $(x - \epsilon, x + \epsilon)$ es una vecindad de $x$ pero el único conjunto contenido en todo barrios de $x$ es $\{ x \}$ que no puede ser un barrio de $x$ ya que no contiene vecinos de $x$ ¡!

Ahora, dejemos que $Y$ sea cualquier subconjunto de $X$ . El interior de $Y$ se define como el subconjunto $Y^\circ$ de todos $y$ en $Y$ tal que $Y$ contiene una vecindad de $y$ . Esto parece bastante razonable: el interior del intervalo cerrado $[a, b]$ es $(a, b)$ porque el intervalo cerrado $[a, b]$ no contiene suficiente vecinos de $a$ o de $b$ . Decimos que un subconjunto $U$ es Abrir en $X$ si $U^\circ = U$ . El conjunto de todos los subconjuntos abiertos de $X$ tiene las siguientes agradables propiedades:

1. Todo el conjunto $X$ es abierto, y el conjunto vacío es abierto.

2. Si $\{ U_\alpha : \alpha \in I \}$ es un conjunto de subconjuntos abiertos de $X$ , entonces la unión $\bigcup_\alpha U_\alpha$ también es un subconjunto abierto de $X$ .

3. Si $U$ y $V$ están abiertos, entonces $U \cap V$ también está abierto.

Ejercicio. Derive estas propiedades de los conjuntos abiertos a partir de los axiomas de vecindad.

Si alguna vez has visto una definición moderna de espacio topológico, reconocerás estas propiedades. Resulta que conocer el conjunto de todos los subconjuntos abiertos da exactamente la misma información que conocer $N(x)$ para cada punto $x$ en $X$ . Esto lleva a desarrollos algo menos intuitivos, como los espacios topológicos sin puntos, pero dejemos eso de lado por ahora.

¿Qué más podemos hacer con los barrios? Podemos hablar de formas de convergencia. Por ejemplo, dejemos que $x_1, x_2, x_3, \ldots$ sea una secuencia de puntos en $X$ y que $x$ sea un punto. Decimos que $(x_n)$ converge a $x$ sólo si para cualquier barrio $U$ de $x$ hay un número entero positivo $N$ tal que $x_n \in U$ para todos $n > N$ . Menos formalmente, decimos que una secuencia converge a $x$ si al final siempre está en un barrio $U$ de $x$ por pequeña que sea la elección que hagamos $U$ ¡ser! En general, si $Y$ es cualquier subconjunto de $X$ un punto $x$ es un punto límite de $Y$ si cada vecindad de $x$ tiene una intersección no vacía con $Y$ . El conjunto $\overline{Y}$ de todos los puntos límite de $Y$ se llama cierre de $Y$ y un conjunto $Y$ es cerrado sólo si $\overline{Y} = Y$ .

Ejercicio. Demuestra que $Y$ es cerrado si y sólo si su complemento $X \setminus Y$ está abierto.

Y, por supuesto, siempre podemos hablar de continuidad. Dejemos que $X$ y $X'$ sean espacios topológicos. A mapa continuo es un mapa $f : X \to X'$ con la siguiente propiedad: si $x$ es un punto límite de un subconjunto $Y$ de $X$ entonces $f(x)$ es un punto límite de la imagen de $Y$ en $X'$ . Esto capta la intuición de que un mapa continuo debe asignar puntos cercanos a puntos cercanos: después de todo, si $x$ es un punto límite de $Y$ entonces $x$ está cerca $Y$ en cierto sentido, así que $f(x)$ debe estar cerca de $f(Y)$ . En otras palabras, la imagen del cierre debe estar contenida en el cierre de la imagen, es decir $f(\overline{Y}) \subseteq \overline{f(Y)}$ .

Ejercicio. Demuestra que $f : X \to X'$ es continua si y sólo si $f^{-1} U'$ está abierto en $X$ para cada subconjunto abierto $U'$ de $X'$ .

Esperemos que estas definiciones sean más convincentes que las habituales. Si lo son, estupendo, porque son exactamente equivalentes a las definiciones habituales.

Answer 4

Puede que la respuesta de Clives ya sea de tu agrado, pero quiero relacionar la definición de un espacio topológico con un concepto central de las matemáticas: La continuidad

Continuidad de una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ en un punto $x_{0} \in \mathbb{R}$ significa, a grandes rasgos, que $f(x_{0})$ cambia sólo un poco si $x_{0}$ cambia un poco (estoy agitando la mano en $\varepsilon-\delta$ aquí). Se trata de un concepto fundamental, por ejemplo, para el cálculo diferencial, que es la idea de medir el cambio momentáneo de una cantidad determinada, como la distancia que recorre un tren "justo ahora"; aproximando la distancia que recorre en intervalos de tiempo cada vez más cortos. Esto conduce a la noción de velocidad.

Ahora bien, en todo (eso espero al menos) curso de análisis real de primer año se demuestra que la continuidad de una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ en un punto $x_{0}$ es lo mismo que decir que para cada barrio abierto $V$ de $f(x_{0})$ existe un vecindario abierto $U$ de $x_{0}$ tal que $f(U) \subset V$ Es decir $U$ se mapea en $V$ por $f$ . Pero lo que es un barrio abierto de $x_{0}$ en $\mathbb{R}$ ? Es sólo un conjunto $U$ que contiene $x_{0}$ tal que cada punto $u \in U$ es un "punto interior", lo que significa precisamente que hay una bola alrededor de $x_{0}$ con algún radio $\varepsilon$ que todavía está completamente contenida en $U$ .

Así que ves que todo lo que importa para el concepto de continuidad de una función entre dos conjuntos es la noción de vecindad abierta en esos dos conjuntos. Y esto es importante porque permite hablar de continuidad de una función entre dos conjuntos que sólo tienen definida la noción de vecindad abierta en ellos. Esta noción de vecindad abierta a la que aludo es precisamente el concepto de un espacio topológico, un conjunto junto con una colección de conjuntos, que se llaman conjuntos abiertos, que satisfacen algunas condiciones de cierre. Por un lado, es un concepto muy débil, que permite muchas patologías que son simplemente extrañas (véase el excelente libro "Counterexamples in Topology" de Steen y Seebach) y, por tanto, un espacio topológico muy general con una topología de aspecto muy extraño no es muy útil la mayoría de las veces.

Por otro lado, sólo porque es una noción tan débil, no es mucho pedir que un conjunto tenga alguna estructura extra en forma de subconjuntos en él (aunque quizás algunos lógicos de primer orden no estarían de acuerdo ;)). La noción de topología se ha convertido en algo absolutamente fundacional, no sólo en el análisis. Las ramificaciones de la noción de espacio topológico, sin embargo, son demasiado amplias para que yo pueda dar una visión general de su uso en muchas partes diferentes de las matemáticas, así que me detengo aquí.

Sólo para darte el resumen de mi post: la topología da sentido a la noción de continuidad, y definir diferentes topologías en diferentes espacios es como permitir (y no permitir) que varias funciones entre esos espacios sean continuas. Espero que esto no sea demasiado complicado hasta el punto de ser impreciso.

Las críticas son bienvenidas.

Answer 5

Sólo quiero añadir que hay muchas formas equivalentes de definir una topología, utilizando vecindades, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, cierre, interior, etc. (Véase, por ejemplo, mi libro "Topology and Groupoids".) El hecho importante es que todas ellas son equivalentes, es decir, que cada una puede recuperarse a partir de cualquiera de las otras.

Hay que resistir cualquier tendencia a decir que la definición de conjunto abierto es LA definición de una topología, aunque en muchos casos sea la más conveniente. Sin embargo, su claridad lógica puede desanimar a los principiantes, con razón. Así, Peter Freyd, en su libro "Abelian Categories", escribe: "Si la topología se definiera como el estudio de familias de conjuntos cerrados bajo uniones infinitas e intersecciones finitas, se estaría haciendo un grave daño a los estudiantes de topología en ciernes..... Una definición mejor (aunque no perfecta) de la topología es que es el estudio de los mapas continuos". Hay una discusión general sobre el "espacio" en este conferencia que vincula la noción con la representación de datos, y el cambio de datos.

Se utiliza la definición que mejor se adapte a la ocasión.