Demostrar que cada elemento $a$ de un álgebra C* $A$ es una combinación lineal finita de elementos unitarios de $A$

Question

Demostrar que cada elemento $a$ de un álgebra C* $A$ es una combinación lineal finita de elementos unitarios de $A$ .

No tengo ni idea de cómo solucionarlo, se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia: Si $a\in A$ es autoadjunto y $\|a\|\leq1$ entonces $0\leq1-a^2$ y $a+i\sqrt{1-a^2}$ es un unitario tal que \begin{align} a&=\frac{1}{2}\left(a+i\sqrt{1-a^2}\right)+\frac{1}{2}\left(a-i\sqrt{1-a^2}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(a+i\sqrt{1-a^2}\right)+\frac{1}{2}\left(a+i\sqrt{1-a^2}\right)^*. \end{align} Por lo tanto, al reescalar, cualquier autoadjunto en $A$ puede escribirse como una combinación lineal de dos unitarios. Dado que cualquier elemento de $A$ es una combinación lineal de dos autoadjuntos, sabemos...