Notación para el vector compuesto por un subconjunto de elementos de otro vector

Question

Supongamos que tengo un vector $\boldsymbol{x} = (x_1,x_2,\ldots,x_N)$ en $\mathbb{R}^N$ . Necesito expresar una función $\boldsymbol{y} : \mathbb{R}^N \mapsto \mathbb{R}^{M(\boldsymbol{x})}$ donde $M(\boldsymbol{x}) \le N$ tal que el vector $\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})$ contiene los elementos de $\boldsymbol{x}$ que no son iguales a alguna constante $q \in \mathbb{R}$ .

Por ejemplo, si $$\boldsymbol{x}=(23, 17, 1, 99, 122, 17, 40)$$ y $q=17$ entonces $$ \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})=(23,1,99,122,40).$$

Pero estoy luchando con la forma de definir esta función $\boldsymbol{y}$ . En particular, es importante que la ordenación de los elementos en $\boldsymbol{y}$ sea la misma que la ordenación de los mismos elementos en $\boldsymbol{x}$ pero no sé cómo expresar esto de forma noticiosa.

¿Cómo podría definir esta función?

Answer 1

La cuestión es sorprendentemente no trivial. Esta es la respuesta más sencilla que he podido dar; empezamos con un par de definiciones.

Definición 0. Si $\alpha$ es un conjunto bien ordenado y $A$ es un subconjunto de $\alpha$ entonces escribamos $A^*$ para la función canónica correspondiente $\mathrm{ord}(A) \rightarrow \alpha$ .

Definición 1. Dejemos que $X$ denota un conjunto arbitrario, y supongamos que $\alpha$ es un conjunto bien ordenado. Entonces, dada una función $f : \alpha \rightarrow X$ y un subconjunto $B$ de $X$ , definen que $f \vartriangle B = f \circ (f^{-1}(B))^*.$

Ahora estamos en condiciones de dar una respuesta formal a su pregunta, que es la siguiente. Si $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^\alpha$ y $q \in \mathbb{R}$ entonces la entidad de interés puede definirse como sigue.

$$\boldsymbol{x} \vartriangle (\mathbb{R} \setminus \{q\})$$

Por supuesto, esto es bastante complicado, por lo que debe explicar al lector primero la idea de la definición (como, por ejemplo, en la respuesta de Josh Chen, con el ejemplo que pone en su pregunta) antes de pasar al punto de vista formal.

Answer 2

En general, si no encuentras una forma (razonablemente) sencilla de plasmar una definición conceptualmente directa en la notación matemática común, probablemente lo mejor sea expresar con palabras lo que te gustaría que fuera la cosa que estás definiendo, y dar un ejemplo ilustrativo.

En este caso, probablemente querrá algo como

Dejemos que $\hat{\mathbf{x}}_q$ sea el vector formado por las entradas de $\mathbf{x}$ no es igual a $q$ con la ordenación original mantenida.

Y no olvides decir qué $\widehat{(q,\dotsc,q)}_q$ debería ser.

(Insisto en que este consejo sólo se aplica en general a conceptualmente sencillo donde dar una definición totalmente formal sólo causaría confusión y enturbiaría lo que debería haber sido una idea clara. Por supuesto, si quiere ser más formal, vea la respuesta del usuario18921 o mi comentario debajo de ella).