Las rotaciones irracionales son de rango 2 por intervalos sin espaciadores

Question

Dejemos que $\alpha$ sea un número irracional, y $R_\alpha$ sea la rotación por $\alpha$ Es decir $R_\alpha(x)=x+\alpha\bmod 1$ .

S. Ferenczi en su estudio [Systems of finite rank. Colloq. Math. 73 (1997), no. 1, 35--65. MR1436950] afirma (Thm. 5): Toda rotación irracional tiene un rango máximo de dos por intervalos (sin espacios). Para demostrarlo se remite a un resultado más general (Thm. 7) que establece que Un intercambio ergódico de $s$ es de rango como máximo $s$ por intervalos, sin separadores.

Por lo que entiendo, significa que puedo encontrar una familia anidada de intervalos $J_1\supset J_2\supset \ldots$ tal que $J_n=F_n\cup G_n$ , donde $F_n=[a_n,b_n)$ y $G_n= [b_n,c_n)$ son intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha en el círculo unitario (interpretados aquí como $[0,1)$ ), y para cada $n=1,2,\ldots$ hay enteros positivos $h_n^F$ y $h^G_n$ tal que $$ [0,1)=\bigcup_{j=0}^{h_n^F-1}R_{\alpha}^j(F_n) \cup \bigcup_{j=0}^{h_n^G-1}R_{\alpha}^j(G_n) $$ es una unión disjunta, y por lo tanto $$ \{R_{\alpha}^j(F_n):j=0,1,\ldots,h_n^F-1\} \cup \{R_{\alpha}^j(G_n):j=0,1,\ldots,h_n^G-1\} $$ es una partición que refina la anterior $$ \{R_{\alpha}^j(F_{n-1}):j=0,1,\ldots,h_{n-1}^F-1\} \cup \{R_{\alpha}^j(G_{n-1}):j=0,1,\ldots,h_{n-1}^G-1\}. $$ Así que aquí están mis preguntas:

1. ¿Es correcta la interpretación anterior? (Espero que lo sea, pero debido a una cierta vaguedad en la definición de "rango por intervalos" no estoy 100% seguro).
2. ¿Qué se puede decir sobre $h_n^F$ y $h^G_n$ y su relación entre sí como $n\to\infty$ ?

Answer 1

Como se ha señalado, la respuesta está relacionada con la continua expansión de la fracción. Si $\alpha=\frac{1}{c_1+\frac1{c_2}...}$ fijamos aproximaciones racionales $\frac{p_k}{q_k}=\frac{1}{c_1+\frac1{c_2+...\frac1{c_k}}}$ . $q_k+q_{k-1}$ Las preimágenes iteradas ( o imágenes) de un punto descomponen el círculo unitario en los intervalos deseados que forman dos torres de alturas $q_k$ y $q_{k-1}$ . Por ejemplo, $T^i(0)$ , $i=0..(q_k+q_{k-1}-1)$ descomponer el círculo unitario en un intervalo

• $[T^i(0),T^{i+q_{k-1}}(0))$ , $i=0..q_k-1$ ,
• $[T^{i+q_k}(0),T^{i}(0))$ , $i=0..q_{k-1}-1$ .

La orientación cambia con la paridad de $k$ . Pero es probable que no sea importante para usted. Por lo tanto, las alturas son $q_k$ y $q_{k-1}$ posiblemente la mejor secuencia relacionada con $\alpha$ con la que puedes jugar. Permítanme recordar, que $q_{k+1}=c_{k+1}q_k+q_{k-1}$ . El cociente puede ser lo más cercano a 1, a lo largo de la subsecuencia, o no serlo en otro caso, o ser constante, por ejemplo, para Fibonnacci.