Mostrar los puntos $u,v,w$ no son colineales

Question

Considere los triples de puntos $u,v,w \in R^2$ que podemos considerar como puntos simples $(u,v,w) \in R^6$ . Demuestre que para casi todos los $(u,v,w) \in R^6$ los puntos $u,v,w$ no son colineales.

Creo que debo usar el Teorema de Sard, simplemente porque es el único enunciado "casi todo" en topología diferencial que he leído hasta ahora. Pero no tengo ni idea de cómo relacionar esto con el valor regular, etc, y resolver este problema.

Otro teorema relacionado con este problema es el teorema de Fubini (para la medida cero):

Dejemos que $A$ sea un subconjunto cerrado de $R^n$ tal que $A \cap V_c$ tiene medida cero en $V_c$ para todos $c \in R^k$ . Entonces $A$ tiene medida cero en $R^n$ .

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

$u,v,$ y $w$ son colineales si y sólo si existe algún $\lambda\in\mathbb{R}$ con $w=v+\lambda(v-u)$ . Así, podemos definir una función suave

$$\begin{array}{rcl}f:\mathbb{R}^5&\longrightarrow&\mathbb{R}^6\\(u,v,\lambda)&\longmapsto&(u,v,v+\lambda(v-u))\end{array}$$

Por la equivalencia mencionada en la primera frase, la imagen de $f$ es exactamente los puntos $(u,v,w)$ en $\mathbb{R}^6$ con $u,v,$ y $w$ colineal. Ahora bien, como $5<6$ cada punto de $\mathbb{R}^5$ es un punto crítico, por lo que toda la imagen de $f$ tiene medida $0$ por el teorema de Sard.