Variables aleatorias con distribución gaussiana

Question

Sé que la suma de variables aleatorias independientes con distribución gaussiana también tiene una distribución gaussiana. digamos que tenemos una secuencia de variables aleatorias gaussianas no necesariamente independientes $ X_0, X_1, X_2, \cdots, X_{n-1}, X_n$ y decir $ Z_n = X_n - X_{n-1} $ si sabemos por todos $n \geq 1$ y la secuencia $$ Z_1,Z_2, \cdots, Z_n $$ son todos independientes con distribución gaussiana.

ahora dejemos $$ \{Y_n\} = \{(a_1X_1 - a_0 X_0), \cdots, (a_nX_n - a_{n-1} X_{n-1}) \} $$ donde $a_n \in [0,\infty) $ cómo puede estar seguro $Y_n$ es también una secuencia de variables aleatorias gaussianas?

Answer 1

Verifique que $$ Y_1 = a_1 Z_1 + (a_1 - a_0 )X_0, $$ $$ Y_2 = a_2 Z_2 + (a_2 - a_1 )Z_1 + (a_2 - a_1 )X_0, $$ etc. Siguiendo los comentarios anteriores, si el $Z_i$ son independientes de $X_0$ , entonces cada $Y_i$ es una combinación lineal de variables aleatorias gaussianas independientes, por tanto gaussianas.

EDIT: Expliquemos por qué una suposición adicional (como la que utilizamos, es decir, que el $Z_i$ son independientes de $X_0$ ) es necesario en este caso. Supongamos que la siguiente afirmación es verdadera: ( $\star$ ) Existen variables aleatorias normales $X$ y $Y$ y las constantes no nulas $a$ , $b$ , $a'$ y $b'$ , de tal manera que $aX+bY$ es normal pero $a'X+b'Y$ no lo es. Entonces, dejando $X_0 = -bY$ y $X_n=aX$ para todos $n \geq 1$ tenemos $Z_1 = aX+bY$ y $Z_n = 0$ para todos $n \geq 2$ . Por lo tanto, el $X_i$ son normales y el $Z_i$ son normales independientes (utilizando la convención común de que las constantes son normales con varianza $0$ ). Sin embargo, $(a'/a)X_1-(b'/b)X_0 = a'X + b'Y$ y, por tanto, no es normal. Por lo tanto, sólo tenemos que explicar por qué debemos esperar que ( $\star$ ) es verdadera (aunque puede ser difícil dar un ejemplo en el que se cumpla). Para ello, considere el hecho de que $X$ y $Y$ son conjuntamente normales si y sólo si CUALQUIER combinación lineal de $X$ y $Y$ es normal univariante...