¿Son las potencias grandes de los polinomios linealmente independientes?

Question

Dejemos que $P_1,\dots,P_k$ sean polinomios sobre $\mathbf{C}$ No hay dos que sean proporcionales.

¿Existe un número entero $N$ tal que $P_1^N,\dots,P_k^N$ son linealmente independientes?

Answer 1

La respuesta es sí. De hecho, una afirmación aún más fuerte es cierta: existe algún $N$ tal que para todo $n \geq N, \ P_{1}^{n}, \dots, P_{k}^n$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{C}$ .

Para ello utilizaremos una generalización del Teorema de Mason-Stother que aparece en la página de Wikipedia (aunque he tomado el caso especial de la curva $C = \mathbb{P}^{1} (\mathbb{C})$ y escribirlo en un lenguaje ligeramente diferente):

Dejemos que $q_1, \dots, q_{k}$ sean polinomios tales que $q_1 + \cdots + q_{k} = 0$ y todo subconjunto adecuado de $q_1, \dots, q_{k}$ es linealmente independiente. Entonces, $$\max \left\{ \mathrm{deg} \left( q_1 \right), \dots, \mathrm{deg} \left( q_{k} \right) \right\} \leq \frac{(k - 1)(k - 2)}{2} \left( \mathrm{deg} \left( \mathrm{rad} \left( q_1 \cdots q_{k} \right) \right) - 1\right)$$

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Ahora, podemos demostrar la afirmación por inducción en $k$ . Para $k = 2$ es evidente. Ahora, por inducción para todo $n$ suficientemente grande cada subconjunto adecuado de $P_{1}^{n}, \dots, P_{k}^{n}$ es linealmente independiente. Supongamos por contradicción que existen constantes $\lambda_{1}, \dots, \lambda_{k}$ tal que $$\lambda_1 P_{1}^n + \cdots + \lambda_{k} P_{k}^n = 0$$ Dejar $q_i = \lambda_i P_{i}^{n}$ , fíjese que $q_1, \dots, q_k$ satisfacen los requisitos del lema (hemos supuesto que $\lambda_i \neq 0$ ), y por lo tanto $$n \leq \max \left\{ \mathrm{deg} \left( q_1 \right), \dots, \mathrm{deg} \left( q_{k} \right) \right\} \leq \frac{(k - 1)(k - 2)}{2} \left( \mathrm{deg} \left( \mathrm{rad} \left( q_1 \cdots q_{k} \right) \right) - 1\right) = \frac{(k - 1)(k - 2)}{2} \left( \mathrm{deg} \left( \mathrm{rad} \left( P_1 \cdots P_k \right) \right) - 1 \right)$$ pero el lado derecho es constante, por lo que para $n$ grande obtenemos una contradicción.