¿Cómo funciona la "toma de integrales" en una inecuación sobre dos variables?

Question

Imagina una desigualdad de la forma

$$\frac{f(x + y)}{y(y^2-1)} < \frac{f(x) + f(y)}{y(y^2-1)}$$

Entonces, ¿es cierto que

$$ \displaystyle \int \int_{[a,b]\times[a,b]} \frac{f(x + y)}{y(y^2-1)} dy dx < \int \int_{[a,b]\times[a,b]} \left( \frac{( f(x) + f(y)}{y(y^2-1)} \right) dy dx$$ ?

Y eso

$$ \displaystyle \int_a^b \frac{f(x + y)}{y(y^2-1)} dy < \int_a^b \left( \frac{f(x) + f(y)}{y(y^2-1)} \right) dy$$ ?

Answer 1

Establecer $g_1(y)= \frac{f(x+y)}{y(y^2-1)}$ y $g_2(y)= \frac{f(x)+f(y)}{y(y^2-1)}$ . Como $g_1 < g_2$ tienes tu segunda afirmación. Entonces considera la integración contra $x$ y tienes tu primera afirmación. ¿No?