En $A, B \in S_n^{+}$ implica $A + B - |A - B| \in S_n^{+}$ ? (donde $S_n^{+}$ es el conjunto de matrices simétricas semidefinidas positivas)

Question

Si $M$ es una matriz (digamos real), podemos definir su módulo $|M|$ como la raíz cuadrada de $M' M$ .

Ahora bien, si $A$ , $B$ son matrices simétricas semidefinidas positivas, es $A + B - | A - B |$ ¿semidefinido positivo?

Si $A$ y $B$ conmutar, pueden ser diagonalizados simultáneamente, en cuyo caso la respuesta es sí. ¿Cuál es la situación si $A$ y $B$ ¿no se desplaza?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

SUGERENCIA:

Usted está preguntando si el "formal" $\min$ de dos matrices positivas sigue siendo positiva, donde $$\min(A,B) = \frac{1}{2}( A+B - |A-B|)$$

No, puede ser semidefinido no positivo.

Expliquemos primero el significado que tiene el hecho de que pueda ser no positivo. Observe que $\min(A,B)$ es $\preceq$ ambos $A$ y $B$ para todos $A$ , $B$ hermético. Supongamos ahora que efectivamente es cierto que siempre que $A$ , $B \succeq 0$ también tenemos $\min(A,B) \succeq 0$ . Entonces se deduce que siempre que $A$ , $B \succeq C$ también tenemos $\min(A,B) \succeq C$ . Eso significaría que $\min(A,B)$ es un verdadero infimo para $A$ y $B$ . Pero, por desgracia, las matrices hermitianas de orden $\succeq $ no es un entramado... Ese es el sentido de la afirmación.

Ahora, cómo conseguir un contraejemplo. Ya funcionará para $2\times 2$ matrices simétricas reales. Tomemos $A$ positivo y $B$ semidefinido positivo con un $0$ valor propio ( es decir, determinante $0$ ). Asegúrese de que $A$ y $B$ no se desplazan. Ahora calcula $C = \min(A,B)$ . Desde $C\preceq B$ su valor propio más pequeño tiene que ser $\le 0$ el valor propio más pequeño de $B$ . Si $A$ y $B$ no se desplaza probablemente obtendrá un $C$ con el determinante $\ne 0$ por lo que no será semidefinido positivo. A partir de aquí, se añade un poco de positivo a $B$ y aún así tener $C\not\succeq 0$ .

Recomiendo calcular las raíces cuadradas de las matrices con Mathematica o Wolframalpha (comando : MatrixPower[ D, 1/2], para $D= (A-B)^2$ )