Matriz cuyo polinomio característico no se divide sobre el campo.

Question

Necesito un ejemplo de matriz que sea no es cero y no nilpotente cuyo polinomio característico hace no se divide sobre el campo $\mathbb{R}$

Answer 1

$$ \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) $$

Jueves por la mañana: si intentamos diagonalizar sobre los reales, tenemos números reales $a,b,c,d$ con $ad-bc \neq 0,$ con $$ \frac{1}{ad-bc} \; \; \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) = \frac{1}{ad-bc} \; \; \left( \begin{array}{rr} -(ab+cd) & -(b^2 + d^2) \\ a^2 + c^2 & ab+cd \end{array} \right) $$ La matriz resultante no puede ser diagonal a menos que ambos $b^2 + d^2 = 0$ y $a^2 + c^2 = 0,$ lo que significa que los cuatro $a,b,c,d = 0,$ con el contradictorio resultado que $ad-bc = 0.$

Con las mismas letras, si ahora permitimos valores complejos, podemos simplemente asignar $a=d=1$ y $b=c=i$ para diagonalizar sobre los complejos.