Comprender la descomposición de un módulo en una suma de módulos simples

Question

Tengo la siguiente propiedad para los módulos:

Dado un módulo derecho $M$ y una familia de submódulos simples $\{N_i:i \in I\}$ tal que $\sum_i N_i = M$ existe un subconjunto $J \subseteq I$ tal que $M = \oplus_{j \in J} N_j$ .

Mi pregunta es doble:

1. Hasta que esto, para mí $\oplus_{j \in J} N_j$ significa tuplas $(n_j)_{j \in J}$ donde casi todos los $n_j$ son cero, pero cómo se establece esto dentro de $M$ (¿quizás sea un isomorfismo?)?
2. ¿Puede proporcionarme ejemplos de este teorema en los grupos abelianos o espacios vectoriales habituales?

Answer 1

Para su primera pregunta, se trata de la noción de ``suma directa interna'', lo que significa que $N_j\subset M$ , $\sum_{j}N_j=M$ y $\left(\sum_{j\neq k}N_j\right)\cap N_k=\{0\}$ para todos $k$ .

Un ejemplo sería para $M=\mathbb{Z}^2$ y los submódulos $N_1=\mathbb{Z}e_1$ , $N_2=\mathbb{Z}(e_1+e_2)$ y $N_3=\mathbb{Z}e_2$ .

Claramente, $M=\sum_iN_i$ pero la suma no es directa (¿por qué?). Sin embargo, cualquier elección de dos de los $N_i$ es directa: $$M=N_1\oplus N_2=N_1\oplus N_3=N_2\oplus N_3.$$

Answer 2

Para el espacio vectorial si $V=\sum_{i\in I} V_i$ existe $J$ tal que $\oplus_{i\in J}V_i=V$ . Este es un resultado clásico que dice que una familia generadora contiene una base del espacio vectorial.