Cálculo de las derivadas de la función implícita

Question

Dada una $ C^{\infty} $ función $ f:R^{2} \to R $ con $f(a,b)=0$ . Supongamos que $\left.\frac{df}{dy} \right| _{(a,b)}!=0 $ El teorema de la función implícita establece que el conjunto de niveles $\{{(x,y):f(x,y)=0}\}$ es la gráfica de una función suave $y=g(x)$ cerca de $(x,y)=(a,b)$

Quiero calcular $ \left.\frac{dg}{dx} \right|_{a} $ y $ \left.\frac{d^2g}{dx^2}\right|_{a} $

Estoy estudiando para un examen. Tengo problemas para entender y resolver los problemas relacionados con el Teorema de la Función Implícita. ¿Cómo podemos resolver este problema? Necesito más problemas relacionados con este teorema. Gracias de antemano.

Answer 1

Como dijo Américo, para $x$ cerca de $a$ que tiene (tenga en cuenta que $g(a)=b$ ) $$ f(x,g(x))=0. $$

Diferenciando (usando la regla de la cadena) en la vecindad de $x$ dado por el Teorema de la Función Implícita obtenemos \begin{equation}\tag{1} f_x(x,g(x))+f_y(x,g(x))g'(x)=0. \end{equation} Evaluar en $x=a$ y resolviendo, obtenemos $$ g'(a)=-\frac{f_x(a,b)}{f_{y}(a,b)}. $$ Para obtener la segunda derivada, diferenciamos $(1)$ para conseguir $$ f_{xx}(x,g(x))+f_{xy}(x,g(x))g'(x)+(f_{yx}(x,g(x))+f_{yy}(x,g(x)))g'(x)+f_y(x,g(x))g''(x)=0. $$ Evaluar en $x=a$ y resolviendo, obtenemos $$ g''(a)=-\frac{f_{xx}(a,b)+2f_{xy}(a,b)g'(a)+f_{yy}(a,b)g'(a)}{f_y(a,b)} $$