Estoy tratando de entender qué significa este operador matricial norma y lo que hace a la matriz A. $${{\left\| A \right\|}_{1,\,\infty }}:={{\max }_{{{\left\| x \right\|}_{\infty }}=1}}{{\left\| Ax \right\|}_{1}}$$ ¿Puede alguien ayudar con la explicación y quizás con un ejemplo?
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Fox
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Esta definición puede parecer extraña por sí misma, pero es natural en el análisis funcional. Si $V$ es un espacio vectorial normado (un espacio vectorial sobre $\mathbb R$ o $\mathbb C$ con una norma $|| -||$ satisfactorio:
-
$||v|| = 0$ si y sólo si $v = 0$
-
$||\lambda v|| = |\lambda| \cdot ||v||$ para todos los escalares $\lambda$ y vectores $v \in V$
-
$||v+w|| \leq ||v|| + ||w||$ para todos $v$ y $w$ )
Entonces, si $W$ es otro espacio normado, se puede hablar de si un mapa lineal $T: V \rightarrow W$ es continua con respecto a la métrica en $V$ en $W$ que viene de esta norma. Resulta que $T$ es continua si y sólo si $$\{ ||T(v)||_W : v \in V, ||v||_V = 1\}$$ es un conjunto acotado en $\mathbb R$ . Si lo es, entonces definimos el norma $||T||$ de $T$ para ser el menor de esos límites superiores:
$$||T|| = \sup\limits_{||v||_V=1}||T(v)||_W .$$
En su caso, $V = \mathbb R^n$ o $\mathbb C^n$ con la norma del infinito $||(x_1, ... , x_n)||_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$ y $W$ es el mismo espacio con el $1$ -norma $||(x_1, ... , x_n)||_1 = |x_1| + \cdots + |x_n|$ . Cualquier matriz $A$ se identifica con un operador lineal $V \rightarrow W$ y su norma es
$$||A|| = \sup\limits_{||v||_{\infty}=1} ||Av||_1$$
