Preguntas sobre la prueba de Chen $\pi_1$ -de Rham en la estructura de Hodge de Hain sobre $\pi_1$ papel

Question

Leí una prueba de Chen $\pi_1$ -Teorema de Rham en el documento de Hain La geometría de la estructura mixta de Hodge en el grupo fundamental . La prueba es muy elegante, pero hay algunas cosas (espero que triviales) cerca del final que me confunden.

Permítanme recordar algunas anotaciones y detalles de la prueba. Sea $M$ sea una variedad lisa y $x\in M$ un punto base. Sea $G=\pi_1 (M,x)$ . Denotamos el espacio vectorial de las integrales iteradas en $M$ de longitud (número de diferenciales en el integrando) menor o igual que un número entero $s$ por $B_s (M)$ y el subespacio vectorial de los que son funcionales de homotopía por $H^0 (B_s (M),x) = H^0 (B_s (M))$ (toda esta notación proviene del construcción de barras ). Sea $J$ sea el ideal de aumento del anillo de grupo $\mathbb{Z}[G]$ . El teorema de Chen afirma que para cada $s\geq 0$ el mapa de integración

$$H^0 (B_s (M)) \to \text{Hom}_{\mathbb{Z}} (\mathbb{Z}[G]/J^{s+1}, \mathbb{R}), \quad [\omega_1 \vert \dots \vert \omega_r]\mapsto \left(\gamma\mapsto \int_\gamma \omega_1\dots\omega_r \right)$$

es un isomorfismo. (Esto puede interpretarse como un isomorfismo canónico entre los grupos fundamentales de Betti y de Rham Tannakian tras el cambio de base).

Dejemos que $R$ sea un anillo y $V = R[G]/J^{s+1}$ . Suponiendo que $G$ está generada finitamente, $V$ es de dimensión finita. Hain demuestra que la traslación a la derecha en $V$ es una representación unipotente de $G$ . Tenemos una filtración de subespacios

$$V\supseteq J/J^{s+1}\supseteq J^2/J^{s+1}\supseteq \dots \supseteq J^s/J^{s+1}\supseteq 0, \quad (*)$$

y $G$ actúa trivialmente sobre los cocientes graduados $J^t/J^{t+1}$ . Formamos un haz de líneas planas $E\to M$ donde $E=(V\times \tilde{M})/G$ y como $G$ estabiliza $(*)$ este haz hereda una filtración por subbundos planos

$$E\supseteq E^1\supseteq E^2 \supseteq \dots \supseteq E^s \supseteq 0,$$

con la fibra de $E^t$ igual a $J^t/J^{s+1}$ . Hain muestra que cada una de estas conexiones planas puede ser trivializada.

Ahora viene la parte que me confunde. Definir $\text{End}_J (V)$ para ser el álgebra de Lie de los endomorfismos de $V$ que conservan la bandera $(*)$ . Hay dos cosas que confunden:

1. Hain afirma que cada elemento de $\text{Hom}_J (V)$ satisface $A^{s+1}=0$ . No veo por qué esto es así - por ejemplo, por qué el mapa de identidad no está en $\text{End}_J (V)$ ?
2. En segundo lugar, el transporte paralelo $T$ de la conexión en $E$ se muestra como un elemento de $H^0(B_s (M))\otimes \mathbb{R}[G]/J^{s+1}$ . Entonces se afirma que la integración $\gamma\mapsto T(\gamma)$ (transporte paralelo de la conexión a lo largo de $\gamma$ ) induce el mapa de identidad en $\mathbb{R}[G]/J^{s+1}$ . Realmente no entiendo de dónde viene este paso, y estaría agradecido si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto.

Muchas gracias.

Answer 1

Para 1:

Estabilizar significa para $\phi \in End_{J}(V) \ : \phi(E^{i}) \subseteq E^{i+1} \ $ por lo tanto $\ \phi^{k}(E^{i}) \subseteq E^{i+k}$ con $E^{0}:=E$ y $E^{s+1}=0$
Así que $\phi^{s+1}(E) =0$

Estoy leyendo el periódico ahora mismo y tampoco he podido averiguar el 2. ¿Has podido averiguarlo ya?