Leí una prueba de Chen π1 -Teorema de Rham en el documento de Hain La geometría de la estructura mixta de Hodge en el grupo fundamental . La prueba es muy elegante, pero hay algunas cosas (espero que triviales) cerca del final que me confunden.
Permítanme recordar algunas anotaciones y detalles de la prueba. Sea M sea una variedad lisa y x∈M un punto base. Sea G=π1(M,x) . Denotamos el espacio vectorial de las integrales iteradas en M de longitud (número de diferenciales en el integrando) menor o igual que un número entero s por Bs(M) y el subespacio vectorial de los que son funcionales de homotopía por H0(Bs(M),x)=H0(Bs(M)) (toda esta notación proviene del construcción de barras ). Sea J sea el ideal de aumento del anillo de grupo Z[G] . El teorema de Chen afirma que para cada s≥0 el mapa de integración
H0(Bs(M))→HomZ(Z[G]/Js+1,R),[ω1|…|ωr]↦(γ↦∫γω1…ωr)
es un isomorfismo. (Esto puede interpretarse como un isomorfismo canónico entre los grupos fundamentales de Betti y de Rham Tannakian tras el cambio de base).
Dejemos que R sea un anillo y V=R[G]/Js+1 . Suponiendo que G está generada finitamente, V es de dimensión finita. Hain demuestra que la traslación a la derecha en V es una representación unipotente de G . Tenemos una filtración de subespacios
V⊇J/Js+1⊇J2/Js+1⊇⋯⊇Js/Js+1⊇0,(∗)
y G actúa trivialmente sobre los cocientes graduados Jt/Jt+1 . Formamos un haz de líneas planas E→M donde E=(VטM)/G y como G estabiliza (∗) este haz hereda una filtración por subbundos planos
E⊇E1⊇E2⊇⋯⊇Es⊇0,
con la fibra de Et igual a Jt/Js+1 . Hain muestra que cada una de estas conexiones planas puede ser trivializada.
Ahora viene la parte que me confunde. Definir EndJ(V) para ser el álgebra de Lie de los endomorfismos de V que conservan la bandera (∗) . Hay dos cosas que confunden:
- Hain afirma que cada elemento de HomJ(V) satisface As+1=0 . No veo por qué esto es así - por ejemplo, por qué el mapa de identidad no está en EndJ(V) ?
- En segundo lugar, el transporte paralelo T de la conexión en E se muestra como un elemento de H0(Bs(M))⊗R[G]/Js+1 . Entonces se afirma que la integración γ↦T(γ) (transporte paralelo de la conexión a lo largo de γ ) induce el mapa de identidad en R[G]/Js+1 . Realmente no entiendo de dónde viene este paso, y estaría agradecido si alguien puede arrojar algo de luz sobre esto.
Muchas gracias.