Suma infinita de procesos Wiener

Question

Contexto
Hay dos tipos de Procesos de Wiener $W_t$ y $V_t$ . Se sabe que son independientes. Además, se nos da un tercer proceso de Wiener $B_t$ que viene dada por la fórmula $$B_t = aW_t+bV_t, \quad \quad a^2 + b^2= 1.$$

Problema
Encuentra el límite en $L^2$ de $$S_n = \sum_{i=1}^n\left[B_{it/n} - B_{(i-1)t/n}\right]\left[V_{it/n} - V_{(i-1)t/n}\right]$$
como $n$ tiende al infinito.

Mis ideas
Supongo que este es el tipo de tarea en la que hay que calcular el valor esperado y la varianza. Como esta última tiende a $0$ (debería), podemos decir que el límite deseado es el valor esperado. La cuestión es que es un trabajo muy exagerado calcular el $E(S_n)$ .

Dejemos que $W_{it/n} = X_i$ y $V_{it/n} = Y_i$ . Tenemos
$$\Bbb E(S_n) = \Bbb E\sum_{i=1}^n [aX_i + bY_i - aX_{i-1} - bY_{i-1}][Y_{i} - Y_{i-1}]$$ que puede escribirse como $$\sum \Bbb E\bigg( aX_iY_i + bY_i^2 - aX_{i-1}Y_i - bY_{i-1}Y_i - aX_iY_{i-1} - bY_iY_{i-1} + aX_{i-1}Y_{i-1} + bY_{i-1}^2\bigg).$$ Los siguientes cálculos me confunden (qué es $\Bbb E(X_i Y_{i-1})$ ?) ¿Es cero? Y la pregunta principal cómo calcular el desviación ?

Si no me equivoco, $\Bbb E(S_n) = nb \to \infty$ , por lo que no necesitamos la varianza. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Dejemos que $P_i=W_{it/n}-W_{(i-1)t/n}$ y $Q_i=V_{it/n}-V_{(i-1)t/n}$ . Esto significa que $P_i,Q_i\sim{\sf N}(0,t/n)$ Así que \begin{align}\Bbb E[S_n]&=\sum_{i=1}^n\Bbb E\left[(aP_i+bQ_i)Q_i\right]=\sum_{i=1}^na\Bbb E[P_i]\Bbb E[Q_i]+b\Bbb E[Q_i^2]\\&=b\sum_{i=1}^n\Bbb V[Q_i]+\Bbb E[Q_i]^2=b\sum_{i=1}^n\frac tn\\&=bt.\end{align} Del mismo modo, ya que $P_i$ es independiente de $P_{i-1}$ y lo mismo para $Q_i$ tenemos \begin{align}\Bbb V[S_n]&=\sum_{i=1}^n\Bbb V\left[(aP_i+bQ_i)Q_i\right]\\&=\sum_{i=1}^n\Bbb E\left[(aP_i+bQ_i)^2Q_i^2\right]-\Bbb E[(aP_i+bQ_i)Q_i]^2\\&=\sum_{i=1}^na^2\Bbb E[P_i^2]\Bbb E[Q_i^2]+2ab\Bbb E[P_i]\Bbb E[Q_i^3]+b^2\Bbb E[Q_i^4]-\left(\frac{bt}n\right)^2\\&=\sum_{i=1}^na^2\left(\frac tn\right)^2+b^2\cdot3\left(\frac tn\right)^2-b^2\left(\frac tn\right)^2\\&=\frac{(a^2+2b^2)t^2}n\stackrel{n\to\infty}\to0.\end{align}