¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las manzanas en la caja si al menos hay una manzana de cada color?

Question

Supongamos que hay $4$ manzanas rojas, $5$ manzanas verdes, y $6$ manzanas amarillas, $9$ de ellos será puesto en una caja. ¿De cuántas formas diferentes se pueden colocar las manzanas en la caja si al menos hay una manzana de cada color?

He intentado resolver este problema y he obtenido el resultado de $673596$ diferentes composiciones posibles. Así es como intento resolverlo.

Una manzana de cada color debe estar en la caja, por lo que el nuevo espacio muestral es el que contiene $3$ manzanas rojas, $4$ manzanas verdes y $5$ manzanas amarillas $(3R, 4G, 5Y)$ y porque ya hay $3$ manzanas en la caja, sólo tengo que recoger las restantes $6$ manzanas.

El problema ahora se reduce a cuánta partición de $12$ objetos en $4$ parte, es decir $R$ (para las manzanas rojas), $G$ (para las manzanas verdes), $Y$ (para las manzanas amarillas) y $N$ (para ninguno de los tres) son posibles, que es.

$$\sum \binom{12}{R,G,Y,N}$$

para $R+G+Y = 6$ y $N = 6$ .

Mi pregunta es si existe algún tipo de generalización de este problema para poder resolverlo fácilmente sin buscar deliberadamente todas las disposiciones posibles de $R$ , $G$ y $Y$ (que es como intento resolver el problema).

Answer 1

No entiendo tu planteamiento, y da un resultado erróneo, así que debe estar mal, pero no has dicho lo suficiente como para decir en qué se equivoca.

Un enfoque eficiente y correcto sería distribuir el $6$ manzanas sobre el $3$ colores, aplicando las condiciones impuestas por la oferta limitada de manzanas de cada color utilizando inclusión-exclusión :

$$ \binom{6+2}2-\binom{6-(3+1)+2}2-\binom{6-(4+1)+2}2-\binom{6-(5+1)+2}2=28-6-3-1=18\;, $$

donde el primer término es el número de maneras de distribuir $6$ manzanas sobre $3$ colores y cada uno de los términos restantes resta el número de distribuciones inadmisibles que incluyen más de $3$ rojo, más que $4$ verde y más de $5$ manzanas amarillas, respectivamente. No tenemos que incluir las restantes condiciones de inclusión-exclusión porque no es posible violar más de una de las condiciones de suministro al mismo tiempo.

Answer 2

La función generadora del número de maneras de ordenar $n$ manzanas es $$ \begin{align} &\left(x+x^2+x^3+x^4\right)\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5\right)\left(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6\right)\\ &=\frac{x-x^5}{1-x}\frac{x-x^6}{1-x}\frac{x-x^7}{1-x}\\ &=\left(x^3-x^7-x^8-x^9+x^{12}+x^{13}+x^{14}-x^{18}\right)\sum_{k=0}^\infty\binom{k+2}{k}x^k \end{align} $$ El coeficiente de $x^n$ es $$ \scriptsize\binom{n-1}{n-3}-\binom{n-5}{n-7}-\binom{n-6}{n-8}-\binom{n-7}{n-9}+\binom{n-10}{n-12}+\binom{n-11}{n-13}+\binom{n-12}{n-14}-\binom{n-16}{n-18} $$ que es igual a $$ \scriptsize\binom{n-1}{2}-\binom{n-5}{2}-\binom{n-6}{2}-\binom{n-7}{2}+\binom{n-10}{2}+\binom{n-11}{2}+\binom{n-12}{2}-\binom{n-16}{2} $$ donde la suma sólo se realiza sobre los términos en los que el término superior es mayor o igual que el término inferior.

Para $n=9$ obtenemos $$ \binom{8}{2}-\binom{4}{2}-\binom{3}{2}-\binom{2}{2}=18 $$

Answer 3

Dejemos que $r\in[0..3]$ , $g\in[0..4]$ , $y\in[0..5]$ sea el número de manzanas rojas, verdes y amarillas puestas en la caja después de las tres manzanas obligatorias. Clasificar según el valor de $r$ conduce a las siguientes posibilidades: $$r=0 \quad\Rightarrow\quad g\in[1..4];\qquad 1\leq r\leq2 \quad \Rightarrow \quad g\in[0..4];\qquad r=3\quad\Rightarrow\quad g\in[0..3]\ ,$$ mientras que $y$ se elige de forma que haya $6$ en total. Esto da la $18$ también por la teoría.

Todo ello bajo el supuesto de que las manzanas del mismo color no se distinguen. Si las manzanas del mismo color son distinguibles, entonces tenemos que elegir $9$ manzanas de $15$ manzanas "individuales", de manera que cada color aparece al menos una vez. Esto lleva a un recuento completamente diferente.