No estoy seguro de qué etiquetas son las más apropiadas aquí, así que se agradece cualquier ayuda (no he encontrado etiquetas para premétrica, cuasimétrica, pseudométrica, etc.). Mi nivel es de licenciatura-máster .
(TL;DR: Probablemente se puede empezar con las preguntas que aparecen a continuación, y leer las definiciones después).
Que a distancia función en $X$ sea una función $d:X\times X\to[0,\infty]$ que satisface:
- reflexivo : $d(x,x)=0\quad\forall x\in X$
- simétrico : $d(x,y)=d(y,x)\quad\forall x,y\in X$
Una distancia $d$ podría entonces satisfacer aún más la desigualdad del triángulo es decir
- $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\quad\forall x,y,z\in X$ .
También podemos definir la convergencia de las secuencias para una distancia, diciendo que $\{x_n\}_n\to x$ si $\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0$ . Y así podríamos definir una distancia $d$ para ser continuo si para cualquier secuencia $x_n,y_n$ s.t. $x_n\to x, y_n\to y$ entonces $d(x_n,y_n)\to d(x,y)$ .
Me interesa entonces ver qué nos da la desigualdad del triángulo (3) de forma más precisa.
Podemos demostrar que una distancia $d$ que satisface (3) es continua:
\begin{equation} |d(x_n,y_n)-d(x,y)|=|d(x_n,y_n)-d(x_n,y)+d(x_n,y)-d(x,y)|\leq \\ |d(x_n,y_n)-d(x_n,y)|+|d(x_n,y)-d(x,y)|\leq d(y_n,y)+d(x_n,x)\to 0, \text{ as }n\to\infty. \end{equation}
Pregunta(s): Sin embargo, ¿podemos demostrar que una distancia continua satisface (3)? Si es así (no): ¿alguna pista (contraejemplo)? Además, ¿podríamos entonces decir de manera un tanto informal que lo que (3) nos da es precisamente lo que se necesita para hablar de la continuidad de una distancia, es decir, que (3) caracteriza la noción de continuidad de una distancia? ¿Me estoy perdiendo algo obvio aquí o este razonamiento tiene sentido?
