Extremista $\int_0^1 f(x) f(1-x) \ \mathrm{d}x$ sujeto a la duración de $f$ y puntos finales

Question

Recientemente he aprendido algo de Cálculo de Variaciones y estaba intentando aplicarlo a una pregunta que hice:

Sobre todas las funciones $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ Satisfaciendo a $f(0) = f(1) = 0$ con una longitud de curva fija $\ell \geq 1$ (es decir $\int_0^1 \sqrt{1 + (f'(x))^2} \ \mathrm{d}x = \ell$ ), encontrar $f$ que maximizan y minimizan \begin{align*} \int_0^1 f(x) f(1 - x) \ \mathrm{d}x. \end{align*}

Normalmente, procedería por multiplicadores de Lagrange y utilizaría las ecuaciones de Euler-Lagrange para resolver $f$ pero no estoy seguro de cómo funcionaría esto con $f$ que se desplaza por encima. También consideré la posibilidad de rederivar la ecuación de Euler-Lagrange para esto, pero el hecho de que sea un argumento desplazado me hace pensar que probablemente no sería agradable trabajar con esto.

Se agradece cualquier ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Sugerencia: La función extendida se lee

$$ J[f]~=~\int_0^1\!\mathrm{d}x\left( f(x)f(1-x)+\lambda \sqrt{1+f^{\prime}(x)^2} \right) -\lambda \ell, $$

donde $\lambda$ es un Multiplicador de Lagrange . La ecuación EL se convierte en no local:

$$ 2f(1-x)~=~\lambda\frac{d}{dx}\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}}.$$