forzamiento de la teoría de conjuntos

Question

Supongamos que $M$ satisface el $CH$ y que forzamos sobre $M$ con $\mathbb{P}=Fn(I,2)$ donde $(\omega_{2} \leq |I|))^{M}$ es decir, con las funciones parciales finitas de $I$ a $2$ . Si $f \in M[G] \cap \omega^{\omega}$ entonces, ¿existe necesariamente una función $g \in M \cap \omega^{\omega}$ para lo cual { $n:f(n) \leq g(n)$ } es infinito? Por favor, den una sugerencia para ayudarme a trabajar este ejercicio del libro de Kunen.

Answer 1

He aquí un esbozo de prueba: Sea $\dot f$ sea un nombre para $f$ . Wlog podemos suponer que $\dot f$ es un nombre bonito y, por tanto, sólo utiliza un número contable de condiciones. De ello se deduce que es un $Fn(J,2)$ -nombre para algún conjunto contable $J\subseteq I$ . Sea $(p_n)_{n\in\omega}$ sea una enumeración de $Fn(J,2)$ .

Construimos una función $g\in M$ de la siguiente manera. Para cada $n\in\omega$ elija $g(n)$ tal que para todo $k\leq n$ se cumple lo siguiente: si para algún $m\in\omega$ tenemos $p_k\Vdash\dot f(n)\gt m$ entonces $g(n)\gt m$ . Es posible elegir $g(n)$ de este modo, ya que para todos los $p\in Fn(J,2)$ sólo hay un número finito de $m$ tal que $p\Vdash\dot f(n)\gt m$ .

Demostramos que $g$ tiene la propiedad deseada. Supongamos que no es el caso. Sea $p\in G$ y $n_0\in\omega$ sea tal que $$p\Vdash\forall n\geq n_0(\dot f(n)\gt g(n)).$$ Para algunos $k\in\omega$ , $p=p_k$ . Ahora dejemos que $n\geq n_0,k$ . Entonces $p_k\Vdash\dot f(n)\gt m$ para $m=g(n)$ . Por la elección de $g$ , $g(n)\gt m=g(n)$ una contradicción.