Acabo de leer el siguiente teorema en unos apuntes de clase:
Dejemos que $f_n : [a,b] \to\mathbb{R}$ sea diferenciable con $f_n'$ continua para todos $n$ . Supongamos que $f_n \to f$ en el sentido de la palabra y $f_n'$ converge uniformemente en $[a,b]$ . Entonces $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es diferenciable y $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)$ para todos $x \in [a,b]$ .
Me cuesta entender qué $f'(x) = \lim_{n \to \infty} f_n'(x)$ para todos $x \in [a,b]$ significa en este contexto.
¿Significa esto que
a) $f_n'(x)$ tiende a $f'(x)$ como una secuencia de números reales para cada $x \in [a,b]$
b) $f_n'(x)$ converge puntualmente a $f'(x)$
c) $f_n'(x)$ converge uniformemente (y por tanto también puntualmente) a $f'(x)$
Estaría muy agradecido por cualquier ayuda,
Jack
