Pregunta sobre el párrafo sobre la diferenciación en el capítulo 10 de Cálculo de Spivak

Question

Estaba terminando el capítulo 10 de Cálculo de Spivak cuando me topé con el siguiente comentario que me cuesta entender. El párrafo en cuestión decía algo así:

A menudo resulta tentador, y parece más elegante, escribir algunos de teoremas de este capítulo como ecuaciones sobre funciones, en lugar de sobre sus valores. Así, el teorema 3 podría escribirse

$$ (f+g)' = f' + g' $$

Por lo que sigue con: En sentido estricto, estas ecuaciones pueden ser falsas, porque las funciones del lado izquierdo pueden tener un dominio mayor que las del lado derecho. lado izquierdo pueden tener un dominio mayor que las de la derecha.

Me parece que me estoy perdiendo el mensaje principal y no entiendo muy bien lo que quiere decir al pensar en los teoremas (principalmente, las reglas de diferenciación) en términos de valores en lugar de funciones. ¿Quiere decir que esa "expansión" sólo tiene sentido si se asigna un valor específico a una función? $(f(a) + g(a))' = f'(a) + g'(a)$ como se ha ilustrado anteriormente en el capítulo. Tampoco he conseguido generar algunos ejemplos que me ayuden a desglosar mejor este punto.

Cualquier indicación será muy apreciada.

Answer 1

Por ejemplo, tome $f(x)=|x|$ y $g(x)=-|x|.$ Entonces, $\mathcal D_f=\mathcal D_g=\mathbb R$ y $f+g=0$ así que $(f+g)'(x)=0$ pero tampoco $f$ ni $g$ es diferenciable en $x=0.$

Answer 2

Quiere decir que $f+g$ puede ser diferenciable incluso cuando $f$ y $g$ no son diferenciables. En otras palabras, este teorema no siempre es aplicable cuando se quiere ver qué pasa con la derivada de una suma (aunque no es muy común encontrar ejemplos naturales en los que $f+g$ es diferenciable pero $f$ y $g$ no son )

Answer 3

Jorge ya lo ha dicho todo. Sólo quiero añadir el siguiente ejemplo: toma las funciones $f,g:\mathbb R\to \mathbb R$ dado por $$f(x)=\begin{cases}0 & x\leq 0 \\ x & x\geq 0\end{cases}$$ $$g(x)=\begin{cases}x & x\leq 0 \\ 0 & x\geq 0\end{cases}$$

Entonces el dominio de ambos $f'$ y $g'$ es $\mathbb R\setminus \{0\}$ pero el dominio de $(f+g)'$ es todo $\mathbb R$ .

De ahí la identidad $$(f+g)'=f'+g'$$ no es estrictamente correcto porque estás equiparando dos funciones con dominios diferentes. En este caso, se debería escribir $$(f+g)'|_{\mathbb R\setminus \{0\}}=f'+g'$$ o $$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x), \hspace{5mm} \text{for } x\in\mathbb R, x\neq 0.$$