Clasificación de subespacios irreducibles para el momento angular según la simetrización

Question

Anteriormente pregunté Prueba de que $L=S=0$ para subcápsulas electrónicas llenas? lo que me motivó a profundizar en las restricciones que el principio de exclusión de Pauli impone a los estados de momento angular multipartícula.

Es bien sabido que 2 partículas distinguibles de espín 1/2 pueden ocupar hasta 4 estados diferentes: $$ |++\rangle, |--\rangle, |+-\rangle, |-+\rangle $$

O, en la base acoplada del momento angular:

\begin{align} |1, 1\rangle =& |++\rangle\\ |1, 0\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle + |-+\rangle\right)\\ |1, -1\rangle =& |--\rangle\\ |0, 0\rangle =& \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+-\rangle - |-+\rangle\right) \end{align}

Aquí los tres estados superiores representan el triplete de espín 1 total y el estado inferior representa el singlete de espín 0. En particular, los estados tripletes son simétricos con respecto al intercambio de partículas, mientras que los estados singlete son antisimétricos con respecto al intercambio de partículas. De nuevo, para las partículas distinguibles se permiten los 4 estados. Sin embargo, los fermiones deben respetar el principio de exclusión de Pauli, que dice que el estado multipartícula debe ser antisimétrico con respecto al intercambio de partículas.

Pensando en esto un poco más. Supongamos que tenemos, ahora, $N$ partículas fermiónicas, cada una con espín intrínseco 1/2 y momento angular orbital total $l=1$ . Esto será para construir hasta 6 electrones llenando el $p$ concha. El espacio de Hilbert de una sola partícula es entonces $\mathcal{H}_i$ y el espacio de Hilbert total es

\begin{align} \mathcal{H} = \bigotimes_{i=1}^{N} \mathcal{H}_i \end{align}

La dimensión del espacio de Hilbert de una sola partícula es $3\times 2 = 6$ . La dimensión del espacio multipartícula es $6^N$ . Para $N$ de 1 a 6 esto da $\text{dim} = \left\{6, 36, 216, 1296, 7776, 46656\right\}$

Sin embargo, para los fermiones idénticos, el espacio de Hilbert multipartícula es ahora el producto tensorial alterno del espacio de Hilbert de una sola partícula. Los estados son determinantes de Slater de los estados de una sola partícula. Entiendo que la dimensión de este espacio viene dada por

$$ _6 C_N = \frac{6!}{N!(6-N)!} $$

Como debe elegir $N$ estados únicos del conjunto de 6 estados disponibles de una sola partícula. Esto lleva a que se reduzcan drásticamente las dimensiones de $\text{dim}=\left\{6, 15, 20, 15, 6, 1 \right\}$ para $N$ de 1 a 6.

Sé inmediatamente para $N=1$ que este espacio de Hilbert se descompone en un subespacio de espín total 1/2 y un subespacio de espín total 3/4, ya que está compuesto por una componente de espín-1 y otra de espín-1/2. Sin embargo, para 2 espines ya me resulta complicado determinar los subespacios de espín total. La única forma que sabría hacer es descomponer primero el subespacio de 36 dimensiones del caso distinguible en subespacios de espín total (podría hacerlo sin demasiados problemas) y luego explícitamente escribir los estados de esos subespacios y determinar cuáles son antisimétricos y eliminar todos los demás. Esto llevaría mucho tiempo y no sería fácil generalizarlo a espacios más grandes. $N$ . Alternativamente, podría escribir todos los estados antisimétricos disponibles, pero entonces no me resulta obvio cómo asignar subespacios de espín a estados concretos.

Mis preguntas son las siguientes. Están ordenadas de mayor a menor.

• ¿Existe una forma de conocer, en base a la simetría o a la teoría de grupos, la descomposición del momento angular del espacio antisimétrico a partir del momento angular de los espacios constitutivos o, incluso, la descomposición del espacio de Hilbert distinguible?
• Al igual que en el caso anterior, ¿existe una forma teórica de grupos para determinar si un subespacio concreto del espacio total distinguible de Hilbert es antisimétrico, simétrico o de simetría mixta?
• cuando se toma el subespacio antisimétrico del espacio de Hilbert distinguible de múltiples partículas ¿se garantiza que los estados siempre vienen en subespacios de espín completos? ¿Se puede demostrar esto?
• ¿Estoy en lo cierto en cuanto a la dimensionalidad del espacio de Hilbert alterno?
• ¿Cómo anotar el producto tensorial antisimétrico en Latex?

Incluso más sucintamente: Sé cómo descomponer un espacio de Hilbert multipartícula en representaciones irreducibles. Cuál es un procedimiento genérico para ordenar estas representaciones irreducibles en función de sus propiedades de simetrización?

Answer 1

Así pues, el objetivo es tomar un espacio de producto tensorial y averiguar sus subespacios rotacionalmente cerrados, que también se denominan representaciones irreducibles (irreps). Cuando se aplican a los momentos angulares cuánticos, los subespacios rotacionalmente cerrados son las combinaciones que son estados propios del momento angular total.

Existe una profunda teoría matemática (dualidad Schur-Weyl) que relaciona estos subespacios con las representaciones del grupo simétrico (también conocido como grupo de permutación). Además, estas representaciones están relacionadas con las tablas de Young a través de la correspondencia Robinson-Schensted. Las representaciones del grupo simétrico están relacionadas, en última instancia, con las particiones de un número entero, es decir, con el número de formas en que el número entero puede expresarse como una suma de números enteros positivos más pequeños (o iguales).

Una búsqueda bibliográfica sobre los términos mencionados le llevará a un nivel de matemáticas de posgrado difícil de penetrar. Aquí intentaré presentar un enfoque orientado a la física que, con suerte, hará que algunos de los conceptos abstractos sean un poco más concretos.

Se empieza con la representación fundamental, como una sola caja en un diagrama de Young:

Esto representa el irrep de 2 dimensiones spin up / spin down.

Ahora toma el producto tensorial consigo mismo:

   X    =      +   

El producto tensorial se forma combinando los dos diagramas de la izquierda de todas las maneras posibles que forman un diagrama de Young legítimo.

Cada diagrama de la derecha representa un irrep del momento angular total. Puedes encontrar la dimensión de la representación utilizando la notable fórmula de la longitud de Hook:

$${\rm dim}\,W(n, r) = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{r+j-i}{{\rm hook}(i, j)}$$

$n$ es el número de cajas del diagrama y $r$ es la dimensión de la irrep fundamental ( $r=2$ ). Aquí $(i, j)$ es un número entero que etiqueta el número de fila y columna, el producto recorre todas las casillas del diagrama. ${\rm hook}(i, j)$ es la longitud del gancho de la caja dada por:

$$ {\rm hook}(i,j)=1+{\rm arm}(i,j)+{\rm leg}(i,j)$$

La longitud del brazo (pierna) de una caja es el número de cajas a la derecha (debajo) de la caja.

Aplicando la fórmula de la longitud del gancho a la ecuación anterior se obtiene:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 3}_S\oplus{\bf 1}_A$$

lo que significa que al combinar dos dobletes se obtiene un triplete y un singlete, que es lo que aprendimos en la mecánica cuántica elemental.

(Nota al margen del tensor: si hubiéramos utilizado vectores de 3 como nuestra irrep fundamental, la fórmula de la longitud del gancho da como resultado:

$${\bf 3}\otimes{\bf 3}={\bf 6}_S\oplus{\bf 3}_A$$

que nos dice que un tensor cartesiano tiene una parte de seis dimensiones y una parte de tres dimensiones (que se transforma como vector, es decir, el producto cruzado).

En el espacio de Minkowski, nos dice que los 4-tensores se ven así:

$${\bf 4}\otimes{\bf 4}={\bf 10}_S\oplus{\bf 6}_A$$

donde reconocemos las 10 dimensiones del tensor de energía de la tensión $T_{\mu\nu}$ y los seis de electromagnetismo $F_{\mu\nu}$ ).)

Notable fórmula de longitud de gancho, ciertamente.

Un examen más detallado mostrará que los subespacios en este caso son simétricos o antisimétricos.

Nota: hemos combinado 2 irreps fundamentales. Las particiones de 2 son:

$$ 2 = 2 $$ $$ 2 = 1 + 1 $$

Cada partición corresponde a un diagrama de Young. Cada diagrama tiene un número de cuadros estándar de Young (es decir, cada caja se rellena con un número de 1 a n, de manera que los números aumentan de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Otra fórmula de longitud de gancho nos dice cuántos cuadros estándar existen para cada diagrama:

$${\rm dim}\pi_n = \Pi_{(i,j)\in Y(n)}\frac{n!}{{\rm hook}(i, j)}$$

Es el número de irreps de esa dimensión (y el número de irreps del grupo simétrico de esa dimensión). Aquí ambos son 1:

1 2 

1 

2 

Quedará claro por qué las cajas horizontales (verticales) son (anti)simétricas.

Para mostrar la potencia del cuadro de Young necesitamos combinar 3 irreps. Si se trata de un espín 1/2, entonces la fórmula de la longitud del gancho nos dice:

$${\bf 2}\otimes{\bf 2}\otimes{\bf 2}={\bf 4}_S\oplus{\bf 2}_M\oplus {\bf 2}_M$$

La dimensión de la combinación simétrica es 4:

$$|\frac 3 2,+\frac 3 2\rangle = |\uparrow\uparrow\uparrow\rangle $$ $$|\frac 3 2,+\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\uparrow\uparrow\rangle+|\uparrow\downarrow\uparrow\rangle+|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3 $$ $$|\frac 3 2,-\frac 1 2\rangle = (|\downarrow\downarrow\uparrow\rangle+|\downarrow\uparrow\downarrow\rangle+|\uparrow\downarrow\downarrow\rangle)/\sqrt 3 $$ $$|\frac 3 2,-\frac 3 2\rangle = |\downarrow\downarrow\downarrow\rangle $$

mientras que la combinación antisimétrica tiene dimensión 0: no hay estado singlete. (Nota al margen del tensor: si hubiéramos utilizado $r=3$ y no $r=2$ en la fórmula de la longitud del gancho, tendríamos un espacio antisimétrico unidimensional, que está abarcado por $\epsilon_{ijk}$ ...notable... ¿cómo funciona?).

La pregunta sigue siendo: ¿cómo nos indican los diagramas la combinación de permutaciones de índices o estados de espín? Para ello, veremos otro $n=3$ diagrama, con dos rellenos estándar:

1 2 

3 

1 3 

2 

En concreto, nos centraremos en la parte superior. A partir de aquí, calculamos el simetrizador de Young y lo aplicamos a las etiquetas de las partículas (o a los índices si estamos haciendo tensores de rango 3).

Primero necesitamos el grupo simétrico en 3 letras $(1,2,3)$ :

$$ S_3 =\{e,e_{23},e_{12},e_{123},e_{132},e_{13}\}$$

donde la permutación, por ejemplo $e_{123}$ significa $(1,2,3)\rightarrow (2,3,1)$ . Esos son los seis elementos, con $e$ siendo la identidad.

Primero: encontrar todas las permutaciones que dejen los cuadros "equivalentes en fila". Los cuadros son equivalentes si cada fila tiene los mismos números:

$R=\{e,e_{12}\}$

y de forma similar para la equivalencia de columnas, con el añadido de que incluimos la paridad de la permutación:

$C=\{e,-e_{13}\}$

El simetrizador de Young es entonces el producto de estos dos, como sigue:

$$ S =R*C = \{e+e_{12}-e_{13}-e_{132} \}$$

A continuación, se aplican estas permutaciones a $|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle$ y normalizar, para obtener:

$$|\frac 1 2, +\frac 1 2\rangle= (|\uparrow\uparrow\downarrow\rangle - |\downarrow\uparrow\uparrow\rangle)/\sqrt 2 $$

Muy fácil.