Sobre las inversiones a la izquierda y a la derecha de las funciones

Question

Dejemos que $F: A \to B$ y $ G: B \to A $ . Entonces

$ G = F^{-1}$ si $G \circ F = I_A$ y $F \circ G = I_B$ .

Mi solución:

Ahora para demostrar si dos funciones son iguales tenemos que demostrar que los dominios de ambas son iguales y que todos los elementos de sus dominios tienen los mismos valores en sus codominios.

(a) Tomemos $G = F^{-1}$ . Ahora dominio de $(G \circ F = I_A) =$ Dominio de $F$ = A = Dominio de $ I_A$ . Lo mismo podría hacerse con la otra declaración. Ahora tomemos un elemento $x$ para ser un elemento de A. Entonces existe un $y$ tal que $f(x) = y$ . Así que $g[f(x)]=g(y)$ es igual a $x$ porque $(x,y)$ pertenece a $f$ entonces $(y,x)$ pertenece a $f^{-1}$ . Así que $g[f(x)]=g(y) = x = I_A$ Lo mismo podría hacerse con la otra declaración.

(b) Ahora tomemos $G \circ F = I_A$ y $F \circ G = I_B$ . Como $I_A$ es uno a uno $F$ es uno a uno. Y como $I_B$ está en $B$ , $F$ está en $B$ . Ahora es cuando me quedo atascado. No sé cómo voy a ser capaz de mostrar $ G = F^{-1}$ .

Answer 1

En esta respuesta dejo de lado cuál es su definición de función inversa (ver los comentarios) y supongo que en (a) se demostró que $F^{-1}\circ F=1_{A}$ y $F\circ F^{-1}=1_{B}$ .

Supongamos ahora que $G\circ F=1_{A}$ para alguna función $G:B\rightarrow A$ .

Entonces $G=G\circ1_{B}=G\circ F\circ F^{-1}=1_{A}\circ F^{-1}=F^{-1}$ .