Una forma de darse cuenta de la importancia de la propiedad de límite superior mínimo es pensar en los resultados que funcionan en $\mathbb{R}$ pero fracasan en $\mathbb{Q}$ esto, porque $\mathbb{Q}$ sigue teniendo muchas de las propiedades algebraicas de $\mathbb{R}$ (incluida la propiedad arquimediana), pero no satisface la propiedad de límite superior mínimo. Por tanto, los resultados que son ciertos en $\mathbb{R}$ pero son falsas en $\mathbb{Q}$ son buenos candidatos para necesitar la propiedad del Límite Mínimo Superior.
Algunos ejemplos:
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El teorema del valor intermedio utiliza la propiedad del límite superior mínimo de $\mathbb{R}$ (de hecho, el IVT es equivalente a la propiedad de límite superior mínimo; véase más adelante).
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El hecho de que las secuencias de Cauchy converjan en $\mathbb{R}$ depende de la Propiedad del Límite Mínimo Superior; sin ella, se pueden tener secuencias que sean Cauchy pero que no converjan (como ocurre con $\mathbb{Q}$ . Que las secuencias de Cauchy converjan es muy importante, por ejemplo, en la definición de integración como límites de sumas de Riemann.
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Las sucesiones acotadas tienen subsecuencias convergentes (el Teorema de Bolzano-Weierstrass); la prueba en $\mathbb{R}$ se basa en demostrar que dicha secuencia tiene una subsecuencia monótona, y la prueba de que las secuencias acotadas monótonas convergen utiliza directamente la propiedad del límite superior mínimo.
La equivalencia de la IVT y la propiedad del límite superior mínimo:
IVT. Sea $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ sea una función continua. Si $f(a)\lt 0$ y $f(b)\gt 0$ entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$ .
Propiedad de límite superior mínimo. Sea $S\subseteq \mathbb{R}$ sea un conjunto no vacío acotado por encima. Entonces $S$ tiene un límite mínimo superior en $\mathbb{R}$ .
Teorema. IVT es equivalente a la propiedad del límite superior mínimo.
Prueba. Supongamos que se cumple la propiedad del límite superior mínimo y que $f\colon [a,b]\to\mathbb{R}$ sea continua. Sea $S=\{x\in [a,b]\mid f(x)\lt 0\}$ . Entonces $S$ está limitada por encima por $b$ y no es vacío, ya que $a\in S$ . Sea $c$ sea el límite superior mínimo para $S$ . Tenga en cuenta que $a\lt c\lt b$ .
Si $f(c)\neq 0$ entonces existe $\delta\gt 0$ tal que para todo $x$ , $|x-c|\lt\delta$ , $|f(x)-f(c)|\lt \frac{|f(c)|}{2}$ . En particular, $f(x)$ y $f(c)$ tienen el mismo signo.
Pero: si $f(c)\gt 0$ significa que para todo $\delta\gt 0$ existe $s\in S$ tal que $c-\delta \lt s\leq c$ Así que $f(s)\lt 0$ Por lo tanto $|f(s)-f(c)| = f(c)+|f(s)|\gt \frac{f(c)}{2}$ una contradicción. En particular, $c\lt b$ .
Y si $f(c)\lt 0$ entonces existe $x\in [a,b]$ con $x\lt c+\delta$ (ya que $c$ no puede ser $b$ ), y luego $f(x)\lt 0$ Así que $x\in S$ contradiciendo el hecho de que $c$ es un límite superior para $S$ .
Por lo tanto, no podemos tener $f(c)\neq 0$ Así que $f(c)=0$ con $a\lt c\lt b$ y hemos terminado.
(El siguiente es un argumento que me sugirió hace algunos años Lee Rudolph en sci.math ) A la inversa, supongamos que tenemos el Teorema del Valor Intermedio. Sea $S$ sea un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ que está acotada por encima; sea $Y$ sea el conjunto de límites superiores de $S$ y defina $f$ como sigue: $$f(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1 & x\in Y\\ -1 & x\notin Y \end{array}\right.$$ Tenga en cuenta que hay puntos en los que $f$ toma valor $-1$ y puntos en los que $f$ toma valor $1$ pero no hay ningún punto en el que $f$ toma el valor $0$ . Eso significa, por el Teorema del Valor Intermedio, que $f$ es pas continua. Por lo tanto, existe un punto $z$ donde $f$ no es continua.
Si existe $s\in S$ tal que $z\lt s$ dejando que $\delta=s-z\gt 0$ tenemos que $(z-\delta,z+\delta)\cap Y = \emptyset$ y, por lo tanto $f$ es constante en este intervalo, por lo tanto continua. Por lo tanto, no $s$ puede existir, y por lo tanto $z$ es un límite superior para $S$ .
Si existe $y\in Y$ tal que $y\lt z$ dejando que $\delta=z-y\gt 0$ tenemos que $(z-\delta,z+\delta)\subseteq Y$ y así $f$ es constante en este intervalo, por lo tanto continua. Esta contradicción nos dice que no existe tal $y$ tampoco puede existir.
Así que $z$ está en $Y$ y es un límite inferior para $Y$ Por lo tanto $z$ es el menor elemento de $Y$ . Así, $z$ es el límite superior mínimo de $S$ y $S$ tiene un límite superior mínimo, como se desea. QED
