Encontrar la suma de $x+x^{2}+x^{4}+x^{8}+x^{16}\cdots$

Question

Si $S = x+x^{2}+x^{4}+x^{8}+x^{16}\cdots$

Encontrar S.

Nota:Esta no es una serie GP.Los poderes están en el GP.

Mis Intentos hasta ahora:

1)Si $S(x)=x+x^{2}+x^{4}+x^{8}+x^{16}\cdots$

Entonces $$S(x)-S(x^{2})=x$$

2)he intentado encontrar $S^{2}$ y los poderes superiores de S para encontrar algún tipo de relación recursiva.

3)Cuando todos los errores que incluso trató de diferenciación e integración S., Obviamente, que era nada bueno.

Podría alguien ayudarme a resolver esto?Gracias!

Answer 1

He trabajado en esta serie antes.

No es sencilla la forma cerrada como una serie geométrica.

(como $x+x^2+x^3+x^4+...=\frac{x}{1-x}$ donde $|x|<1$).

Puedes ver más información en el enlace sobre Lacunary función.

La serie puede ser expresado en la forma cerrada de la integral doble. He compartido mi resultado.

$x+x^{2}+x^{4}+x^{8}+\dots=F(x)$

Vamos a transformar $x=e^{2^t}$

$e^{2^t}+e^{2^{t+1}}+e^{2^{t+2}}+\dots=F(e^{2^t})=H(t)$

$e^{2^t}+H(t+1)=H(t)$

$H(t+1)-H(t)=-e^{2^t}$

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La transformada de Fourier de ambos lados

$$\int_{-\infty}^{+\infty} H(t+1)e^{-2nift} \mathrm{d}t\int_{-\infty}^{+\infty} H(t)e^{-2nift} \mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2^{t}}e^{-2nift} \mathrm{d}t$$

$$V(f)= \int_{-\infty}^{+\infty} H(t)e^{-2nift} \mathrm{d}t$$

$$\int_{-\infty}^{+\infty} H(t+1)e^{-2nift} \mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty} H(z)e^{-2nif(z-1)} \mathrm{d}z=V(f)e^{2nif}$$

$$e^{2nif}V(f) V(f)=-\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2^{t}}e^{-2nift} \mathrm{d}t$$

$$V(f)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2^{t}}e^{-2nift}}{1-e^{2nif}} \mathrm{d}t$$

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Ahora tenemos que tomar la inversa de la transformada de Fourier

$$H(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} V(f) e^{2nifz} \mathrm{d}f=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2nifz}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2^{t}}e^{-2nift}}{1-e^{2nif}} \mathrm{d}t\,\mathrm{d}f $$

La forma cerrada de $H(z)$ en la integral de la expresión: $$H(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2nifz} \frac{e^{2^{t}}e^{-2nift}}{1-e^{2nif}} \mathrm{d}t\,\mathrm{d}f $$

$$\sum_{k=0}^\infty x^{2^k}=H(\log_2(\ln x))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2nif\log_2(\ln x)} \frac{e^{2^{t}-2nift}}{1-e^{2nif}} \mathrm{d}t\,\mathrm{d}f$$

$$\sum_{k=0}^\infty x^{2^k}= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2nif\log_2(\ln x)}}{1-e^{2nif}} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{2^{t}-2nift} \mathrm{d}t\,\mathrm{d}f=\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2^{t}} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2nif(\log_2(\ln x)-t)}}{1-e^{2nif}} \mathrm{d}f\,\mathrm{d}t$$