Estaba luchando inmensamente para mostrar que $\{y \mid \limsup\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}$ y $\{y \mid \liminf\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}$ son Borel. Mi primer intento consistió en escribir falsamente: $\{y \mid \limsup\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}=\bigcap\limits_{N=1}^{\infty}\bigcup\limits_{n \geq N}\{y \mid d(y,x_n) \leq 1\}$ y $\{y \mid \liminf\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}=\bigcup\limits_{N=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n \geq N}\{y \mid d(y,x_n) \leq 1\}$ . Sin embargo, la gente me daba contraejemplos para demostrar que no son ciertos. Mi pregunta es, ¿cómo puedo escribir correctamente los conjuntos $\{y \mid \limsup\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}$ y $\{y \mid \liminf\limits_{i \rightarrow \infty}d(x_i,y) \leq 1\}$ como unión/intersecciones de conjuntos abiertos/cerrados para demostrar que son Borel?
Respuesta
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Tenga en cuenta que $$\limsup\limits_n d(x_n, y)\leq 1$$ $$\Leftrightarrow \forall \epsilon>0,\text{ } \exists N\in \mathbb{N} \text{ such that } d(x_n,y)\leq 1+ \epsilon \text{ for }n\geq N$$ $$\Leftrightarrow \forall k\in \mathbb{N},\text{ } \exists N\in \mathbb{N} \text{ such that } d(x_n,y)\leq 1+ 1/k \text{ for }n\geq N.$$
El conjunto de $y$ que satisface el último requisito puede expresarse como $\bigcap\limits_{k=1}^\infty \bigcup\limits_{N=1}^\infty \bigcap\limits_{n=N}^\infty \{y: d(x_n, y)\leq 1+ 1/k\}$ .
EDIT: La forma más eficaz de demostrar que los conjuntos son medibles es observar que, para cualquier $n$ la función $y \mapsto d(x_n, y)$ es continua, por lo tanto medible, y entonces que la $\limsup$ de funciones medibles es medible. Entonces el conjunto $\{y: \limsup\limits_nd(x_n,y)\leq 1\}$ es sólo la preimagen de $(-\infty, 1]$ bajo una función medible.
