Cómo encontrar el número de configuraciones posibles en este escenario

Question

Si tienes 3 espacios para cartas en la mesa. Los puestos de la izquierda y de la derecha pueden contener cualquier número de cartas, el del medio sólo puede contener como máximo 1 en todo momento. ¿Cuántas configuraciones iniciales son posibles para n cartas?

¿Podría alguien mostrarme cómo resolver esto?

Answer 1

Una pista: Tienes que contar el número de soluciones enteras de la ecuación: $$x_1+x_2+x_3=n$$ con sujeción a las restricciones $0\le x_1,0\le x_3$ y $0\le x_2\le 1$ . Dado que la restricción para $x_2$ es bastante simple, puedes tomar dos casos y sumar los resultados:

• Caso 1: $x_2=0$ . Cuente el número de soluciones enteras de $$x_1+x_3=n$$ con sujeción a $0\le x_1,x_3$ ,
• Caso 2: $x_2=1$ . Cuente el número de soluciones enteras de $$x_1+1+x_3=n \iff x_1+x_3=n-1$$ con sujeción a $0\le x_1,x_3$ .

Ambos casos son ya típicos problemas de estrellas y barras . Para obtener la solución basta con sumar el número de soluciones de cada caso.