mn es par si m es par o n es par

Question

El problema se plantea:

Dejemos que $mn$ sean números enteros. Demuestre que $mn$ es par si y sólo si $m$ es par o $n$ está en paz.

Se pide que se demuestre una afirmación iff. Así que se puede decir que $PQ$ y $QP$ . Puedo demostrar que $¬P¬Q$ y $¬Q¬P$ por lo que he entendido.

Lo intenté así:

$¬P¬Q$ : $mn$ es impar si $m$ y $n$ son impar. Un entero impar puede representarse como $2x + 1$ por lo que podemos reescribir $mn$ como $(2x + 1)(2y + 1) = 2(2xy + x + y) + 1$ que es impar.

$¬Q¬P$ : si $m$ y $n$ son impar, entonces $mn$ es impar. ¿Cómo se escribe esto entonces? ¿No es esencialmente lo mismo que lo anterior? O es que he entendido mal cómo se demuestra iff en este caso.

Answer 1

Has escrito las afirmaciones de forma idéntica. Los enunciados contrapuestos serían que si $mn$ es impar, tanto $m$ y $n$ son Impares, y si $m$ y $n$ son Impares, entonces también lo son $mn$ .

Lo que si y solo si significa aquí es esto: si ya sabes que $m$ o $n$ está en paz, y aún no sabe de $mn$ se puede deducir que $mn$ es par. Así que la prueba de eso es decir que si, digamos, $m = 2k$ entonces $mn = 2kn = 2(kn)$ también lo es.

La otra dirección es que si $m$ y $n$ son ambos Impares, podemos inferir automáticamente que $mn$ es impar. Esta es la prueba que has dado.

Answer 2

Sí, para demostrar un bicondicional 'P si y sólo si Q' se quiere demostrar tanto 'Si P entonces Q' como 'Si Q entonces P'.

Y sí, para demostrar un condicional 'Si P entonces Q', también se puede demostrar su contrapositivo 'Si no Q entonces no P'.

Sin embargo, el hecho de que demuestres la condicional 'Si P entonces Q' a través de su contrapositivo, no significa que tengas que demostrar la otra condicional 'Si Q entonces P' también por su contrapositivo. Por lo tanto, hay 4 maneras de demostrar una bicondicional "P si y sólo si Q":

1. Muestras 'Si P entonces Q' y 'Si Q entonces P'
2. Muestras 'Si P entonces Q' y 'Si no P entonces no Q'
3. Muestras 'Si no Q entonces no P' y 'Si Q entonces P'
4. Muestras 'Si no Q entonces no P' y 'Si no P entonces no Q'

(y por cierto, un error común que veo es que alguien pruebe: 'Si P entonces Q' y 'Si no Q entonces no P'... eso sí no funcionan, ya que son el contrapositivo del otro, por lo que realmente sólo se muestra una dirección dos veces)

Ahora, ¿cuál de estos 4 métodos utilizas? Bueno, lo lógico es elegir el más fácil.

Por lo tanto, para el "Si $mn$ es par, entonces $m$ es par o $n$ es par", creo que efectivamente elegiste la más fácil al considerar su contrapositivo "Si $m$ y $n$ son impar, entonces $mn$ es impar'

Sin embargo, para la otra dirección "Si $m$ o $n$ es par, entonces $mn$ es par", la prueba directa es probablemente más fácil que la contrapositiva: basta con considerar los 2 casos:

Caso 1. $m$ es par. Entonces $m=2k$ para algún número entero $k$ y por lo tanto $mn=2kn$ está en paz.

Caso 2. $n$ es par. Entonces $n=2k$ para algún número entero $k$ y por lo tanto $mn=2km$ está en paz.

Dado que cualquiera de los dos $m$ o $n$ es par, y como en ambos acses obtenemos que $mn$ es par, hemos demostrado que $mn$ es definitivamente par (prueba por casos)