Supongamos que la secuencia $x_n$ no tiene subsecuencias convergentes. Sea M $ > 0$ .
Demostrar que existe a lo sumo un número finito de valores de $n$ tal que $x_n \in [-M,M].$ Explique por qué esto implica | $x_n$ | $\rightarrow$$ \N - Infancia $ as $ n \ a \ infty$
Esta es la parte a de 1.62 del Cálculo Avanzado de Leonard Richardson.
No tengo ni idea de por dónde empezar con esta prueba.
Argumentamos por contradicción. Supongamos que hay infinitos valores de $n$ tal que $x_n \in [-M,M]$ entonces toma una subsecuencia $x_{n_k}$ tal que $x_{n_k} \in [-M,M]$ para todos $k$ . Entonces $x_{n_k}$ está acotada y debe tener una subsecuencia convergente por la Bolzano-Weierstrass teorema. Así que $x_n$ debe tener una subsecuencia convergente. Contradicción.
La segunda parte se desprende de utilizar la definición de lo que significa que una secuencia vaya a $\infty$ .
Por lo tanto, se pueden utilizar algunos resultados estándar del análisis para deducirlo, pero se podría argumentar que ocultan cómo simple esta pregunta es una vez que se tiene el punto de vista correcto.
Si hay infinitos términos de la secuencia en $[-M,M]$ entonces es bastante obvio que hay infinitos en cualquiera de los dos $[-M,0]$ o $[0,M]$ . Digamos que es $[0,M]$ WLOG; entonces continuando hay infinitos en cualquiera de los dos $[0,M/2]$ o $[M/2,M]$ y así sucesivamente. Esto define una secuencia anidada infinita de intervalos que convergerán a algún número (la intersección de todos los intervalos), y este número es el límite de una subsecuencia convergente del $x_i$ (tomar un término de cada intervalo). Así que esto muestra la primera parte, y la segunda parte ahora sigue fácilmente :)
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