¿Son cualquiera de estos subconjuntos de $\mathbb{R}^{\infty}$ Compacto

Question

Definir un conjunto de $\infty\times n$ matrices por $$X_0=\lbrace [a_{i,j}]:\sum_{i,j}a_{i,j}=1, a_{i,j}\ge0,\text{ each column has positive sum}\rbrace$$

donde $i\le 1$ , $1\le j \le n$ y las sumas son sobre todo $i,j$ . ¿Algunos de estos subconjuntos de $\infty\times n$ ¿matrices compactas?

Dado que se trata de subconjuntos de $\mathbb{R}^{\infty}$ En este caso no se aplica la definición de "compacto si es cerrado y acotado". Estoy teniendo dificultades para aplicar la definición de cobertura abierta de la compacidad debido al hecho de que tengo infinitas filas.

Editar: Tengo un mapa $T=f\circ g:X_0\to X_0$ , donde $g$ multiplica cada columna por una constante para obtener la suma de las columnas $1/n$ (para que la suma de todas las columnas sea $1$ ) y luego $f$ multiplica cada fila por una constante para obtener una suma de filas deseada $r_i$ (tal que $\sum_i r_i=1$ ). ¿Qué topología puedo colocar en este conjunto $X_0$ tal que $X_0$ es compacto y $T$ es continua? Si $X,Y\in X_0$ Creo que puedo demostrar que $X\to Y$ (es decir $x_{i,j}\to y_{i,j}$ ) implica $T(X)\to T(Y)$ pero no estoy seguro de qué topología se está utilizando implícitamente cuando concluyo que esto da continuidad. Quizás sea la topología del producto.

Answer 1

Mi intento:

Tome la topología en $(\mathbb{R}^{d})^{\mathbb{N}}$ para ser la topología del producto. Supongamos que $d = 2$ , dejemos que $f_n \in (\mathbb{R}^{d})^{\mathbb{N}}$ . sea tal que $f_n(1,1) = \frac{1}{n}$ , $f_n(1,2) = \frac{n-1}{n}$ , $f_n = 0$ en otro lugar entonces $f_n \in X_0$ Sin embargo $f = \lim_n f_n$ es tal que $f(1,1) = 0$ la suma de la primera columna es $0$ por lo que $f \not\in X_0$ , $X_0$ no es cerrado por lo que a priori no es compacto ya que $(\mathbb{R}^{d})^{\mathbb{N}}$ es Hausdorff. Se puede extender fácilmente a $d > 2$ .

Para $d = 1$ , toma $f_n(k) = n^{-1}$ para $k \leq n$ , $0$ de otra manera. También se puede tomar $f_n(k) = \frac{1}{n} (1 - n^{-1})^{k-1}$ . En cualquier caso $f_n \in X_0$ pero $f_n \to 0$ .

Por lo tanto, en cualquier caso $X_0$ no es compacto.

Si se insiste en que las sumas de las columnas sean estrictamente positivas, no creo que sea probable que $X_0$ es compacto en cualquier topología razonable. Por otro lado, dejemos que $X'_0 = \{ \sum_{i} {a_{i}} = 1, a_{i} \geq 0 \}$ , puede tomar $X'_0$ como un subconjunto de $l_{\infty}$ y es $\sigma(l_\infty, l_1)$ -(Banach-Alaoglu), con una extensión similar para $d > 1$ (sin embargo, no es posible $l_\infty$ -compacto).