Demostrar que $\int_0^x\left\{\int_0^v\left\{\int_0^uf(t)\ dt\right\}du\right\}dv={1\over 2}\int_0^x(x-t)^2f(t)dt$

Question

Cómo demostrarlo:

$$\int_0^x\left\{\int_0^v\left\{\int_0^uf(t)\ dt\right\}du\right\}dv={1\over 2}\int_0^x(x-t)^2f(t)dt$$

No consigo qué propiedad utilizar. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Se puede utilizar la fórmula de Taylor-Lagrange con el resto integral al lado izquierdo de la ecuación. Las derivadas evaluadas en 0 serán iguales a cero. Esto da el resultado deseado directamente.