Demostrar que $\int_0^x\left\{\int_0^v\left\{\int_0^uf(t)\ dt\right\}du\right\}dv={1\over 2}\int_0^x(x-t)^2f(t)dt$

Question

Cómo demostrarlo:

$$\int_0^x\left\{\int_0^v\left\{\int_0^uf(t)\ dt\right\}du\right\}dv={1\over 2}\int_0^x(x-t)^2f(t)dt$$

No consigo qué propiedad utilizar. Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Es un resultado estándar obtenido mediante integración por partes. Nótese que el LHS denota una función $F(x) $ tal que $F'''(x) =f(x) $ y $$F(0)=F'(0)=F''(0)=0$$ Utilizar funciones intermedias $$G(x) =\int_{0}^{x}f(t)\,dt,\,H(x)=\int_{0} ^{x} G(t) \, dt$$ y observe que $$F(x) =\int_{0}^{x}H(t)\,dt$$

Answer 2

Utilizar la integración por partes varias veces.

Dejemos que $F_0(x) = f(x)$ y para $ n > 0$ dejar $F_n(x) = \int_0^x F_{n-1}(u) du$ . Tenemos que mostrar $F_3(x) = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{x} (x-t)^2f(t)dt.$

$$ \begin{align} F_3(x) &= \int_{0}^{x} F_2(u) du\\ &= \int_{0}^{x} \frac{d}{du} (u - x) F_2(u) du\\ &= \left[ (u - x) F_2(u) \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} (u-x)F_1(u)du\\ &= - \int_{0}^{x} (u-x)F_1(u)du\\ &= -\dfrac{1}{2} \int_{0}^{x} \frac{d}{du}(u-x)^2F_1(u)du\\ &= -\dfrac{1}{2}\left( \left[ (u-x)^2 F_1(x) \right]_{0}^{x} - \int_{0}^{x} (u-x)^2f(u)du\right)\\ &= \dfrac{1}{2}\int_{0}^{x}(u-x)^2f(u)du \end{align} $$

Answer 3

Una pista. Haz un esquema en $u,v,t$ -ejes. Cambiar el orden de integración.

Answer 4

Sólo hay que cambiar el orden de integración, después de afirmar que se cumple el Teorema de Fubini o el de Tonelli.

$$\int_0^x\int_0^v\int_0^u f(t)\ \operatorname d t\ \operatorname d u\ \operatorname d v \\ = \iiint_{0\leqslant t\leqslant u\leqslant v\leqslant x}f(t)\ \operatorname d(t,u,v) \\ = \int_0^x f(t)\int_t^x\int_u^x\ \operatorname dv\ \operatorname du\ \operatorname dt$$

Confirma que las dos integrales interiores se evalúan como es debido. $$\int_t^x\int_u^x \operatorname dv\ \operatorname du~=~ \tfrac 12(x-t)^2$$

Answer 5

Una "prueba constructiva"

Que el $n-$ Problema de valor inicial de tercer orden (en el PO es de tercer orden) $$ x^{(n)}=f, \quad x(t_0)=x'(t_0)=\cdots=x^{(n-1)}(t_0)=0. \tag{1} $$ Esto equivale al sistema $$ x_1'=x_2,\,x_2'=x_3,\ldots,x_{n-1}'=x_n,\,x_n'=f, \quad x_1(t_0)=\cdots=x_n(t_0)=0. $$ o $$ \boldsymbol{x}'=A\boldsymbol{x}, \quad \boldsymbol{x}(t_0)=0. \tag{2} $$ donde $$ A=\left(\begin{matrix}0 & 1& 0 &\cdots&\cdots& 0 \\ &0 &1 & \\ &&0& 1 \\ &&&&\ddots \\ &&&&0&1\\&&&&&0\end{matrix}\right) $$ Obsérvese que lo que buscamos es una expresión para $x_1(t)$ que va a ser la solución de $(1)$ .

Solución del PIV. $$ \boldsymbol{x}(t)=\mathrm{e}^{(t-t_0)A}\boldsymbol{x}(t-t_0)+\int_{t_0}^t\mathrm{e}^{(t-s)A}\boldsymbol{f}(s)\,ds=\int_{t_0}^t\mathrm{e}^{(t-s)A}\boldsymbol{f}(s)\,ds, $$ donde $$ \mathrm{e}^{tA}=\left(\begin{matrix}1 & t& \frac{t^2}{2} &\cdots&\cdots& \frac{t^{n-1}}{{(n-1)!}} \\ &1 &t &\frac{t^2}{2!}& \\ &&1& t \\ &&&&\ddots \\ &&&&1&t\\&&&&&1\end{matrix}\right)\qquad\text{and}\qquad \boldsymbol{f}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\ \vdots\\ 0\\ f\end{array}\right). $$ Claramente $$ x_1(t)=\int_{t_0}^t\frac{(t-s)^{n-1}\,f(s)\,ds}{(n-1)!}. $$