Reflexiones en grupos poliédricos (grupo tetraédrico)

Question

Consideremos el grupo de simetría de un tetraedro regular (pirámide). Estoy tratando de trabajar en el grupo de reflexiones.

Mis observaciones hasta ahora: Sólo hay tres reflexiones. Son las reflexiones correspondientes cada una al plano que pasa por una arista del tetraedro y la cara opuesta.

Pregunta 1: ¿Cómo puedo demostrar que todas estas son reflexiones del tetraedro?

Answer 1

Una rápida aproximación abstracta a esto, que muestra que hay $6$ más reflexiones, es notar que el grupo de simetría del tetraedro regular es $S_4$ ya que cualquier permutación de los vértices forma una única simetría del tetraedro. Queremos saber qué permutaciones tienen signo impar, ya que las que tienen signo par corresponden a rotaciones. Sin embargo, debe haber $12$ tales reflexiones, no $6$ . En particular, hay que tener en cuenta la reflexión correspondiente a la permutación $(1\,2\,3\,4)$ y otros $4$ -ciclos, que tienen signo impar y son por tanto reflejos. No conozco una manera fácil de caracterizar estas reflexiones, excepto observando que $(1\,2\,3\,4)=(1\,2)(2\,3)(3\,4)$ y componer las reflexiones pertinentes.