¿Eigencirculos de matrices n x n?

Question

Un valor propio de una matriz de 2 x 2 satisface la ecuación

$$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \lambda \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) $$

Graham Farr multiplica por la matriz identidad. Sigue definiendo los valores propios $(A - \lambda I ) \vec{x} = 0$ .

$$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) $$

Incrusta los números complejos en el espacio de las matrices de 2 x 2 y pide vectores que roten + dilaten la matriz.

$$ \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} \lambda & \mu \\ -\mu & \lambda \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) $$

La ecuación característica es define un círculo en $\mu,\lambda$ . Este eigencircle no es realmente un círculo fijo en el plano, sino una colección de pares de valores "característicos" que forman un círculo de valores $(\mu,\nu) \in \mathbb{R}^2$ .

\N - [\N - izquierda] \begin{array}{cc} a - \lambda & b - \mu \\ c + \mu & d - \lambda \end{array} \N - derecha = 0 \N - [en inglés]

Farr hizo un applet que demuestra estos cálculos y utiliza los eigencirculos para demostrar fácilmente las relaciones entre los eigenvectores, el signo del determinante, etc.

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¿Se pueden tener eigencirculos en más de dos dimensiones? Supongo que puedes pedir dos vectores base $v_1, v_2$ tal que $Av_1 = \lambda v_1 + \mu v_2 $ y $Av_2 = - \mu v_1 + \lambda v_2$ . También parece que las matrices de 2 x 2 están señalando no sólo dos direcciones, sino todo un círculo de vectores.

¿Existe una generalización correcta de las dimensiones superiores? ¿Se han estudiado estos objetos con otro nombre?

Answer 1

Según entiendo el problema se puede generalizar. El $\small \lambda,\mu $ -puede verse como una rotación a escala, y utilizando $ \small r^2 = \lambda^2 + \mu^2 $ podemos, porque el $\small \lambda,\mu$ - es invertible y es la matriz a la izquierda factor de la derecha (por lo que no es realmente un análogo de valores propios en mi opinión) podemos reescribir de forma diferente su ecuación original como

$\qquad \small \frac1{r^2} \begin{bmatrix} \lambda & -\mu \\\ \mu & \lambda \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} \cdot 1 $

o $\qquad \small \begin{bmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} \cdot r $

o
$\qquad \small (T \cdot A) \cdot X = X \cdot r$

donde entonces el problema propio es
$\qquad \small \left\vert T \cdot A - r\cdot I \right\vert = 0 $

El factor de la izquierda T es simplemente una matriz de rotación y r el valor propio de la matriz rotada $\small T\cdot A$ .

Si esta caracterización de la $\small \lambda, \mu$ -es la interesante (lo cual asumo) se puede entonces generalizar a más dimensiones de la manera obvia y el $\small \lambda ,\mu $ tienen que determinarse como escalas de los parámetros cos/sin por los valores propios de la matriz rotada multidimensionalmente.

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[Actualización] Aquí hay una imagen de la construcción según mi interpretación del problema. Tomo alguna matriz de ejemplo A $\small \begin{bmatrix} 12&24\\\ 13&83 \end{bmatrix} $ y luego multiplicar a la izquierda por las matrices de rotación de los ángulos entre 0 y $\small 2 \pi $ . Cada uno tiene entonces dos valores propios $\small w_0 , w_1 $ . El $\small \lambda,\mu$ -La matriz es entonces $\small T \cdot w_0 $ . Obsérvese que los valores propios y, por tanto, la $\small \lambda,\mu$ -La matriz puede resultar compleja para algunas rotaciones. A continuación, trazo el logaritmo del valor absoluto de los dos valores propios en diferentes colores. Aquí está la imagen:

(fuente)

Answer 2

No son exactamente lo que buscas, pero creo que deberías echar un vistazo a los problemas de valores propios de dos parámetros. Por ejemplo, comprueba http://www.math.technion.ac.il/iic/ela/ela-articles/articles/vol18_pp420-437.pdf . Esencialmente, son un sistema de dos ecuaciones del tipo que estás considerando con diferentes matrices pero con las mismas incógnitas $\lambda,\mu$ . Dado que tienes dos ecuaciones en esa configuración típica, obtienes un número finito de soluciones $(\lambda,\mu)$ .

Answer 3

Añadiendo a la respuesta de Gottfried:
El eigencirculo ${EC(\mathfrak{t})}_{cart}$ o ${EC(\mathfrak{t})}_{polar}$ de una transformación lineal $\mathfrak{t}$ es un círculo definido por todas las posibles tuplas $(s,\theta)$
donde
$\theta=\angle\left(\vec{x,}\mathfrak{t}\left(\vec{x}\right)\right)$ es el ángulo entre un vector original $\vec{x}$ y su imagen $\mathfrak{t}\left(\vec{x}\right)$ y
$s=\frac{\|\mathfrak{t}(\vec{x})\|}{\|\vec{x}\|}$ es la escala $s$ de la longitud original $\|\vec{x}\|$ a la longitud final $\|\mathfrak{t}(\vec{x})\|$ .

${EC(\mathfrak{t})}_{polar}=\left\{\left(\ s_{\vec{x}},\theta_{\vec{x}}\right)| \exists\vec{x}=\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]\ and\ \mathfrak{t}\left(\vec{x}\right)=\left[\begin{matrix}s_{\vec{x}}&0\\0&s_{\vec{x}}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\cos{\theta_{\vec{x}}}&-\sin{\theta_{\vec{x}}}\\+\sin{\theta_{\vec{x}}}&\cos{\theta_{\vec{x}}}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]=A\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]\right\}$

${EC(\mathfrak{t})}_{polar}=\left\{\left(s_{\vec{x}},\theta_{\vec{x}}\right) |\ \exists \vec{x}\ such\ that\ s_{\vec{x}}=\frac{\|\mathfrak{t}(\vec{x})\|}{\|\vec{x}\|} \ and\ \theta_{\vec{x}}=\angle(\vec{x},\mathfrak{t}(\vec{x}))\right\}$

${EC(\mathfrak{t})}_{cart}=\left\{\left(\lambda,\mu\right)|\exists\vec{x}=\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]and\ \mathfrak{t}\left(\vec{x}\right)=\left[\begin{matrix}\lambda &-\mu\\+\mu&\lambda\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}s_{\vec{x}}&0\\0&s_{\vec{x}}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\cos{\theta_{\vec{x}}}&-\sin{\theta_{\vec{x}}}\\+\sin{\theta_{\vec{x}}}&\cos{\theta_{\vec{x}}}\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right]\right\}$

Creo que si se extiende a dimensiones más altas se obtendrá un "eigenball". Pero sospecho que esto no será útil: el valor añadido del eigencirculo es la interpretación visual y la derivación de las propiedades de una transformación lineal en el plano.

Si quieres saber más sobre los eigencirculos de las matrices de 2x2, visita www.heavisidesdinner.com

Ejemplo público de Geogebra que muestra los eigencirculos

visualización de un punto, su imagen y el punto correspondiente en el eigencirculo