Es $f(2x)/f(x)$ nonincreasing para cóncava funciones con $f(0)=0$?

Question

Tengo una pregunta acerca de las funciones cóncavas.

Deje $f:R_+\rightarrow R_+$ ser cualquier nonidentically cero, no decreciente, continua, función cóncava con $f(0)=0$. ¿Tenemos que la función de relación $f(2x)/f(x)$ es nonincreasing en $(0,+\infty)$?

Answer 1

No. Deje $f$ ser la función $$ f(x) \;=\; \begin{cases}2x & \text{if }0\leq x \leq 1 \\ x+1 & \text{if }1 \leq x.\end{casos} $$ A continuación, $f$ satisface las hipótesis que se han dado, pero $$ \frac{f(2)}{f(1)} = \frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{f(4)}{f(2)} = \frac{5}{3} > \frac{3}{2}\text{,} $$ por lo $f(2x)/f(x)$ aumenta de$x=1$$x=2$.

Edit: también Hay diferenciable contraejemplos, por ejemplo,$f(x) = (x^2+10x)/(x+1)$.

Answer 2

Edit: Esta prueba tiene un error. A ver si se puede ver sin mirar los comentarios!

Supongamos $f$ es diferenciable. A continuación, $f' \geq 0$ es no creciente, y su relación es $$ \frac{\int_0^{2x} f'(y) dy}{\int_0^x f'(y) dy}. $$ La derivada de la fracción es $$\frac{f'(2x) f(x) - f'(x) f(2x)}{f(x)^2}. $$ Ahora$0 \leq f(x) \leq f(2x)$$0 \leq f'(2x) \leq f'(x)$, por lo que la derivada es no negativo. Por tanto, en este caso, la función de relación es no creciente.

Esta prueba puede probablemente ser extendida a la no-diferenciable caso.