Dado que $a$ y $b$ son enteros satisfechos $3 \mid ab(a + b) + 2$ , demuestre que $9 \mid ab(a + b) + 2$ .

Question

Dado que $a$ y $b$ son enteros satisfacen $3 \mid [ab(a + b) + 2]$ , demuestre que $9 \mid [ab(a + b) + 2]$ .

Este problema es una adaptación de un concurso reciente. (Los últimos lo fueron y los próximos lo serán.) Quiero preguntar si la solución que he proporcionado a continuación es correcta y si hay otras soluciones que sean más adecuadas para una prueba.

Answer 1

Al principio, el trabajo $\pmod 3$ . Está claro que no podemos tener ninguno de los dos $a,b\equiv 0 \pmod 3$ así que por simetría sólo tenemos que considerar $3$ pares $$(a,b)\in \{(1,1),(1,2), (2,2)\}$$

Un cálculo rápido muestra que sólo $(2,2)$ funciona así que debemos tener $a=3m+2,b=3n+2$ para algunos enteros $m,n$ .

Ahora comprobamos que $$(3m+2)(3n+2)(3m+3n+4)+2\equiv 0\pmod 9$$ y hemos terminado.

Cabe destacar que para hacer la comprobación final no es necesario multiplicar todo (aunque no es tan difícil). Está claro que los coeficientes de $n^2,m^2,mn$ son divisibles por $9$ . Los coeficientes de $m,n$ son ambos $3\times 2\times 4+2\times 2 \times 3=24+12=36\equiv 0 \pmod 9$ por lo que el producto es $16\pmod 9$ y hemos terminado (ya que al añadir $2$ al producto nos da $18$ que por supuesto es $0\pmod 9$ ).

Nota: Creo que esto es sustancialmente similar al argumento que das en tu post, pero tu versión parece ser más compleja e involucrada. Creo que la forma en que lo he escrito llega rápidamente a las cuestiones principales.

Answer 2

Tenemos que $$3\mid ab(a + b) + 2 \implies ab(a + b) \equiv 1\text{ (mod 3)}$$

$$\implies \left[ \begin{align} ab \equiv 1&\text{ (mod 3) and } a + b \equiv 1\text{ (mod 3)}\\ ab \equiv -1&\text{ (mod 3) and } a + b \equiv -1\text{ (mod 3)} \end{align} \right.$$

Si $ab \equiv -1\text{ (mod 3)}$ entonces tenemos que $\left[ \begin{align} a \equiv 1&\text{ (mod 3) and } b \equiv -1\text{ (mod 3)}\\ a \equiv -1&\text{ (mod 3) and } b \equiv 1\text{ (mod 3)} \end{align} \right. \implies 3 | a + b$

(lo cual es contradictorio con $a + b \equiv 2\text{ (mod 3)}$ ).

$\implies ab \equiv 1\text{ (mod 3)}$ y $a + b \equiv 1\text{ (mod 3)} \implies a \equiv b \equiv 2\text{ (mod 3)}$ .

Dejemos que $a = 3m - 1$ y $b = 3n - 1 \ (m, n \in \mathbb Z)$ .

Tenemos que $$ab(a + b) + 2 = (3m - 1)(3n - 1)[(3m - 1) + (3n - 1)] + 2$$

$$= [9mn - 3(m + n) + 1][3(m + n) - 2] + 2$$

$$= [3(m + n) - 1][9mn - 3(m + n) + 2] - 9mn + 2$$

Además, $$[3(m + n) - 1][9mn - 3(m + n) + 2] + 2 = 9(3m^2n + 3mn^2 - m^2 - n^2 - 3mn + m + n)$$

que es divisible por $9$ . Esto significa que $$[3(m + n) - 1][9mn - 3(m + n) + 2] - 9mn + 2$$

divisible por $9$ o $9 \mid [ab(a + b) + 2]$ .

Answer 3

Claramente $3\nmid a,b$ . Teorema de Fermat tenemos $a^3\equiv_3 a$ por lo que multiplicando la relación dada por $a$ a la derecha obtenemos $$3\mid a^2b^2+ab+2a\implies 3\mid 4a^2b^2+4ab+8a$$

$$\implies 3\mid (2ab+1)^2+8a-1\implies a+1\equiv_3 (2ab+1)^2$$

Desde $(2ab+1)^2 \equiv_3 0,1$ vemos, ya que $3\nmid a$ que $a\equiv_3 -1$ . Lo mismo ocurre con $b\equiv_3 -1$ . Así que $a=3x-1$ y $b=3y-1$ . Ahora tenemos:

$$ (3x-1)^2(3y-1)+(3y-1)^2(3x-1)+2\equiv_9$$ $$\equiv_9(3x+1)(3y-1)+(3y+1)(3x-1)+2\equiv_9 0$$