¿Por qué una norma de campo se llama "norma"?

Question

Estoy estudiando Teoría de Galois y nos presentaron el concepto de norma de campo, que se define así (tomado de Wikipedia):

" Deja $K$ sea un campo y $L$ una extensión finita de $K$ . El campo $L$ es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre $K$ .

Multiplicación por $\alpha \in L$ que da el mapa: $$m_\alpha:L\to L $$ $$ x \mapsto \alpha \cdot x $$

es un $K$ -transformación lineal de este espacio vectorial en sí mismo.

El norma $N_{L / K}(\alpha)$ se define como el determinante de esta transformación lineal. "

Entiendo que la norma de campo es no una norma "regular" en un espacio vectorial, y también en la Wikipedia dice que "la norma de campo es muy diferente de la norma de distancia habitual" y también se da un ejemplo. También he visto algunos ejemplos más que distinguen la norma de campo de la "norma de distancia habitual".

Entonces, si es diferente, ¿por qué llamarlo norma? ¿Hay algún caso específico en el que esta norma de campo esté realmente relacionada con una norma en un espacio vectorial?

He buscado bastante la respuesta pero no la he encontrado, espero que no sea un duplicado.

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Existe algún caso específico en el que esta norma de campo esté realmente relacionada con una norma en un espacio vectorial?

Sí. Considere la extensión finita $\mathbb{C}/\mathbb{R}$ . Entonces el mapa normativo $N_{\mathbb{C}/\mathbb{R}} : \mathbb{C} \to \mathbb{R}$ es el cuadrado de la norma estándar, es decir $$N_{\mathbb{C}/\mathbb{R}}(a + bi) = a^2 + b^2.$$

Para ver esto, considere la base ordenada $(1,i)$ para $\mathbb{C}$ . La representación matricial de $m_{a + bi}$ con respecto a esta base ordenada es $$\begin{bmatrix} a & -b \\ b & a\end{bmatrix}$$ que tiene el determinante $a^2 + b^2$ .