Pregunta sobre un grupo no abeliano de orden $p^2q$

Question

Supongamos que $p<q$ , donde $p,q$ son primos y tenemos un grupo no abeliano $G$ de orden $p^2q$ . ¿Es cierto que tiene un subgrupo que no es normal? Intento utilizar los teoremas de Sylow. Tomamos subgrupos de Sylow de orden $p^2$ y $q$ . Son normales, de lo contrario tenemos una contradicción. Ahora quiero decir que $G$ debe ser abeliano, pero no sé por qué es cierto...

Answer 1

Pista: supongamos que todos los subgrupos fueran normales. Entonces $G$ tiene subgrupos normales $M$ de orden $p^2$ y $N$ de orden $q$ . ¿Qué se puede decir sobre (la estructura de) esos subgrupos y sobre el orden de $MN$ ?