Dejemos que $k$ un campo y $A$ , $B$ asociativo de dimensión finita $k$ -algebras. Si $M$ es un irreducible $A$ -y $N$ es un irreducible $B$ -módulo, entonces $M\otimes_kN$ es un irreducible $A\otimes B$ -módulo. ¿Es también cierto que $M\otimes N$ es indecomponible como un $A\otimes B$ -módulo, si $M$ y $N$ son indecomponibles? Si no es así, ¿cuál es un ejemplo?
Respuesta
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BenjaminBallard
Puntos
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La afirmación es falsa incluso para módulos irreducibles. Tomemos $k=\mathbb{R}$ y $A=B=\mathbb{C}$ visto como $\mathbb{R}$ -de las álgebras. Entonces el álgebra del producto tensorial $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ es isomorfa al álgebra $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ (véase, por ejemplo, esta pregunta ).
Ahora, toma $M=N=\mathbb{C}$ . Entonces $M$ y $N$ son irreducibles $\mathbb{C}$ -pero su producto tensorial $M\otimes_\mathbb{C} N = \mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ no es un irreducible $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ -de un módulo. Es, de hecho, la suma directa del submódulo generado por $1\otimes 1 + i\otimes i$ y el generado por $1\otimes 1 - i\otimes i$ . (Si ve $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R} \mathbb{C}$ como $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$ en su lugar, entonces estos dos submódulos corresponderán a $\mathbb{C}\times \{0\}$ y $\{0\}\times \mathbb{C}$ ).
