Dejemos que $X\rightarrowtail B^\bullet$ ser un $G$ -resolución acíclica de $X$ . Podemos elegir una resolución inyectiva del complejo limitado por debajo $B^\bullet$ que es por definición un cuasi-isomorfismo $$f\colon B^\bullet \to I^\bullet.$$ En particular, $I^\bullet$ también da una resolución inyectiva de $X$ Así que $$R^n G (X) \cong H^n (G (I^\bullet)).$$ Nos gustaría que $$G (f)\colon G (B^\bullet) \to G (I^\bullet)$$ es también un cuasi-isomorfismo, lo que significa que induce isomorfismos en la cohomología: $$H^n (G (B^\bullet)) \cong H^n (G (I^\bullet)),$$ y ya hemos terminado. (Nótese que, en general, no hay ninguna razón para que un functor aditivo preserve los cuasi-isomorfismos, así que esto requiere un poco de trabajo).
Recuerde lo siguiente
Dato útil . Un morfismo de complejos $f\colon C^\bullet \to D^\bullet$ es un cuasi-isomorfismo si y sólo si su cono $\operatorname{Cone} (f)$ es acíclica (es decir, exacta, tiene cohomología trivial).
(Para ver esto, recordemos que el cono da una corta secuencia exacta de complejos $D^\bullet \rightarrowtail \operatorname{Cone} (f) \twoheadrightarrow C^\bullet [1]$ y la secuencia exacta larga asociada en cohomología tiene precisamente $H^n (f)$ como morfismos de conexión).
Así que queremos demostrar que el cono de $G (f)$ es acíclico, pero la construcción del cono conmuta con cualquier functor aditivo: $$\operatorname{Cone} (G (f)) = G (\operatorname{Cone} (f)).$$ El complejo $\operatorname{Cone} (f)$ es acíclico, ya que $f$ es un cuasi-isomorfismo; está acotado por debajo y consiste en $G$ -objetos acíclicos, como por definición $$\operatorname{Cone} (f)^n = I^n\oplus B^{n+1},$$ donde $I^\bullet$ y $B^\bullet$ están acotados por debajo, y cada $B^n$ es $G$ -acíclico por nuestra suposición, mientras que cada $I^n$ es $G$ -acíclico, porque cualquier objeto inyectivo es acíclico con respecto a cualquier functor exacto izquierdo.
Para terminar la prueba, podemos aplicar a $\operatorname{Cone} (f)$ lo siguiente
Lema clave . Dejemos que $G$ sea un functor exacto a la izquierda. Si $C^\bullet$ es un complejo acíclico inferior acotado que consiste en $G$ -objetos acíclicos, entonces $G (C^\bullet)$ también es acíclico.
La prueba de que el Lema clave debería ir como sigue. La acyclicidad de $(C^\bullet,d^\bullet)$ significa que $\operatorname{im} d^n \xrightarrow{\cong} \ker d^{n+1}$ y tenemos secuencias exactas cortas $$\tag{*} 0 \to \ker d^n \to C^n \to \ker d^{n+1} \to 0$$ Ahora afirmo que cada $\ker d^n$ es $G$ -acíclico. Esto se deduce por inducción, ya que $\ker d^n = 0$ para $n \ll 0$ y (*) proporciona el paso de inducción, debido a lo siguiente
Observación . Si $A\rightarrowtail B$ es un monomorfismo entre dos $G$ -objetos acíclicos, entonces su cokernel $K$ es de nuevo $G$ -acíclico.
(De hecho, es evidente a partir de la correspondiente secuencia larga exacta $\cdots \to R^n G (A) \to R^n G (B) \to R^n G (K) \to R^{n+1} G (A) \to \cdots$ )
Ahora bien, como sabemos que $\ker d^n$ es $G$ -acíclico para todos $n$ si aplicamos nuestro functor exacto izquierdo $G$ a (*), obtenemos secuencias exactas cortas $$0 \to G(\ker d^n) \to G(C^n) \to G (\ker d^{n+1}) \to 0$$ Pero esto significa que el complejo $(G (C^\bullet), G (d^\bullet))$ es acíclico.
