Interpretación geométrica de la traslación a través del muro

Question

¿A qué corresponde la traslación a través de la pared bajo la localización de Beilinson Bernstein?

Más concretamente, me interesa lo siguiente:

Existe una equivalencia bien conocida entre el bloque principal de la categoría $\mathcal O$ y perversas en la variedad de banderas, construibles a lo largo de $B$ órbitas:

$$\mathcal O_0 \cong \mathcal P_{(B)}(G/B)$$

Ahora para un peso integral singular $\lambda$ se puede considerar la traslación a través del functor de pared $$ \theta_\lambda:\mathcal O_0 \rightarrow \mathcal O_\lambda \rightarrow \mathcal O_0$$

¿A qué corresponde bajo la equivalencia anterior? Mi suposición/esperanza ingenua sería, que está dada por la convolución con la gavilla correspondiente a $\theta_\lambda (L_e)$ donde $L_e$ es la antidominante simple. ¿Es esto correcto? Si es así, ¿hay una forma geométrica de construir esta gavilla?

PS: Soy consciente de que hay descripciones de los funtores de traducción que utilizan una versión ligeramente más elaborada de la localización, por ejemplo en este papel por Beilinson Ginzburg. Sin embargo, preferiría mantener la configuración anterior.

Answer 1

Supongo que lo siguiente es bien conocido por usted/no es lo que está buscando, pero no obstante:

Dejemos que $s$ ser una simple reflexión, $P_s$ la parabólica mínima correspondiente, $\pi_s\colon G/B\to G/P_s$ la proyección. La traslación a través de la $s$ -la pared `corresponde' a $\pi_s^*\pi_{s*}$ . Utilizo las comillas porque, como se ha dicho, esto es claramente falso (la traducción a través de la pared es t-exacta, $\pi_s^*\pi_{s*}$ ciertamente no lo es). Sin embargo, $\pi_s^*\pi_{s*}$ corresponde a la traslación a través de la pared bajo la dualidad de Koszul. Esto es también lo mismo que la convolución con la $IC$ -correspondiente a $s$ .

Moralmente (como señalas), la reflexión a través de la pared debería corresponder a la convolución con la correspondiente inclinación. Pero aquí hay un problema molesto: las inclinaciones no son $B$ -equivariante. Un problema similar ocurre si en lugar de la convolución utilizando categorías derivadas equivariantes se intenta utilizar el formalismo estándar de Fourier-Mukai y se intenta utilizar un objeto en $G/B\times G/B$ como núcleo. Sin embargo, hay una solución que tiene un coste técnico. A saber, las láminas monodromáticas libres de Bezrukavnikov y Yun http://arxiv.org/abs/1101.1253 . En realidad, la idea se remonta al artículo de Beilinson y Ginzburg que usted cita (mire la sección 5).