¿Qué significa realmente la homogeneización de una ecuación?

Question

Por ejemplo, si tenemos una cónica:

$$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$$

¿Qué significa homogeneizar esta ecuación con otra línea (digamos $ax + by + c = 0$ ) significa realmente? Es decir, ¿qué consecuencias gráficas tiene esto? Me han dicho que representa un par de rectas que pasan por el origen y los puntos de intersección (de la cónica y la recta), pero ¿cómo se ha llegado a esto?

Actualización: Siento la falta de contexto, pero acabo de empezar geometría algebraica y me gusta entender lo que realmente significan las cosas en lugar de mugir una fórmula.

Answer 1

Una función $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es homogénea de grado $r$ cuando tiene la siguiente propiedad:

$$f(\lambda x_1,\lambda x_2,\ldots,\lambda x_n) = \lambda^r f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$$

Algunos ejemplos de estas funciones son:

• Las funciones lineales, son de grado 1. Si se escala la gráfica de la función por un factor $\lambda$ se sigue obteniendo el mismo gráfico, excepto que todos los puntos tienen coordenadas escaladas por el factor $\lambda$ .

• Los monomios en una variable: $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^n$ es homogénea de grado $n$ , escala $x$ por un factor $\lambda$ y la función se escalará por un factor $\lambda^n$ .

• Cualquier polinomio (función) en $n$ variables tales que cada término que aparece en el polinomio es de grado $k$ es homogénea de grado $k$ . Por ejemplo $x^2 y + z^3$ es homogénea de grado $3$ .

La importancia de la homogeneidad es la invariabilidad de escala de las funciones. Lo que implica que las gráficas de las funciones serán invariantes de la escala. En efecto, imaginemos que una función homogénea se utiliza para definir implícitamente un objeto geométrico:

$$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0$$

es decir, todos los puntos con coordenadas $(x_1,\ldots,x_n)$ que satisfagan esta ecuación pertenecerán a la figura geométrica definida por $f$ . Si $f$ es homogénea, se deduce inmediatamente que cualquier múltiplo de estas coordenadas también satisface las ecuaciones. En otras palabras, cualquier punto que satisfaga la ecuación implica inmediatamente que todo el rayo que pasa por ese punto y el origen del espacio pertenecen al objeto geométrico.

Homogeneizar una ecuación polinómica implícita significa añadir una variable extra $z$ y multiplicar cualquier término por $z^k$ con $k$ tal que el polinomio resultante es homogéneo. Por supuesto, ya que cualquier $z$ -múltiplo del polinomio también será homogéneo, se elige el polinomio homogéneo resultante con el menor grado posible.

En su ejemplo, esto se convertiría en

$$ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gxz + 2fyz + cz^2 = 0$$

Si se toma la intersección de la figura geométrica definida por la ecuación anterior con el plano $z=1$ , se recupera la cifra original. Si se elige otro plano paralelo al $z=1$ plano, se obtiene una versión ampliada o reducida de la figura.

Answer 2

Descargo de responsabilidad : Intentaré mantener mi respuesta a un nivel muy elemental, ya que has señalado que acabas de empezar a aprender geometría algebraica. Además, seré un poco impreciso en varios puntos de la discusión, ya que quiero transmitir algo de intuición y no de rigor matemático.

Si estás estudiando geometría algebraica, creo que una buena manera de ver la homogeneización de una ecuación es interpretarla como "añadir puntos en el infinito" al conjunto cero del polinomio.

En el caso bidimensional esto funciona de la siguiente manera: en lugar del plano afín "normal" $\mathbb{A}^2$ (que consiste sólo en 2 tuplas procedentes de su campo de tierra $k$ ) consideramos el plano proyectivo $\mathbb{P}^2$ que tiene algunos puntos adicionales: para cada dirección "fuera del plano", introducimos un nuevo punto. Esto nos da toda una línea de puntos nuevos, que no se pueden dibujar en la imagen habitual del plano afín, sino que se piensa que están "en el infinito". Aunque esto parece un poco impar al principio, tiene muchas ventajas. Consideremos, por ejemplo, dos líneas rectas en el plano afín, entonces se cruzarán en algún punto del plano o serán paralelas (en cuyo caso no se cruzan). Si consideramos las mismas dos rectas en el plano proyectivo, las cosas se simplifican: ¡las rectas siempre se cruzan! O bien las rectas se cruzan en la "parte afín" de nuestro plano proyectivo o son paralelas. En el segundo caso, ambas apuntarán "fuera del plano" en la misma dirección, lo que significa que se cruzarán en el punto del plano proyectivo que hayamos añadido previamente para esa dirección concreta. Por lo tanto, todas las rectas se cruzarán en $\mathbb{P}^2$ . ¿No es bonito?

Partiendo de esta idea, se quiere precisar y hacer más riguroso todo esto. La manera formal de definir las curvas en el plano proyectivo es considerar únicamente conjuntos nulos de polinomios homogéneos, es decir, polinomios en los que cada monomio tiene el mismo grado total. Para obtener lo correcto, también tenemos que introducir una variable extra y cambiar el conjunto subyacente de nuestro espacio (ya no consiste en 2-tuplas sino en 3-tuplas, y lo modulamos por alguna relación de equivalencia). Para los detalles de la construcción se puede leer el correspondiente artículo de Wikipedia sobre Espacio proyectivo . También intentaré hacer un breve resumen en lo siguiente: definir el plano proyectivo $\mathbb{P}^2$ sobre su campo de tierra $k$ como sigue: el conjunto subyacente es $k^3 \setminus \{(0,0,0)\}/\sim$ , donde $\sim$ denota la siguiente relación de equivalencia: $(a,b,c) \sim (d,e,f)$ si existe un $\lambda \in k \setminus \{0\}$ tal que $(\lambda a, \lambda b, \lambda c) = (d,e,f)$ (en otras palabras, si los dos puntos se encuentran en la misma línea que pasa por el origen en $k^3$ ). Denotamos la clase de equivalencia de un punto $(a,b,c)$ por $(a:b:c)$ ya que la relación de equivalencia que hemos introducido nos dice que sólo nos importan los cocientes de las coordenadas. También dotamos a este conjunto de una cierta topología (la topología de Zariski), pero no quiero elucubrar sobre los detalles aquí. Pero también sin conocer la topología, se puede ver que, como conjunto, hemos creado un espacio que contiene el conjunto subyacente del plano afín: Si se observa el subconjunto $\{(a:b:c) \subset \mathbb{P}^2| c \neq 0\}$ entonces se ve que cada clase de equivalencia en ese conjunto tiene una representación única como $(a':b':1)$ como multiplicar $(a:b:c)$ por $\frac{1}{c}$ no cambiará la clase de equivalencia de $(a:b:c)$ . Ahora, podemos olvidarnos del 1 en $(a':b':1)$ y sólo mirar a $(a',b')$ . Ahora, separo intencionadamente $a'$ y $b'$ por una coma, porque la representación $(a':b':1)$ era único, lo que significa que no necesitamos considerar más las clases de equivalencia. Si lo piensas, esto significa que hemos identificado $\{(a:b:c) \subset \mathbb{P}^2| c \neq 0\}$ con el subconjunto $k \times k$ que era el subconjunto subyacente de nuestro plano afín $\mathbb{A}^2$ . Así, $\mathbb{P}^2 = \mathbb{A}^2 \cup \{(a:b:c) \subset \mathbb{P}^2| c = 0\}$ . Puede comprobar por sí mismo que $\{(a:b:c) \subset \mathbb{P}^2| c = 0\}$ es una copia de $k$ es decir, una línea (más un punto adicional, para ser precisos). Por eso podemos decir que $\mathbb{P}^2$ es el plano afín más una línea en el infinito.

Ahora también queremos definir curvas en $\mathbb{P}^2$ por conjuntos nulos de polinomios. Esto es más complicado que antes: nuestros puntos en $\mathbb{P}^2$ tienen tres coordenadas , por lo que necesitamos una variable adicional. Además, tenemos que hacer frente a la dificultad de que estamos definiendo una función sobre una clase de equivalencia de puntos. Al final, resolvemos estos problemas considerando únicamente polinomios homogéneos en las variables $x,y,z$ para un polinomio homogéneo f(x,y,z), tenemos que $f(\lambda x, \lambda y, \lambda z) = 0 \Leftrightarrow f(x, y, z) = 0$ para todos $\lambda \in k \setminus \{0\}$ . Por lo tanto, si $f$ es cero en un representante de una clase de equivalencia $(a:b:c)$ será en todas ellas, que es justo lo que necesitamos. El conjunto de clases de equivalencia $(a:b:c)$ , donde $f$ es cero será la curva definida por $f$ en $\mathbb{P}^2$ . Si recuerdas cómo "extrajimos" $\mathbb{A}^2$ de $\mathbb{P}^2$ También puede comprobar ahora, lo que $f$ parece en el $\mathbb{A}^2$ -parte de $\mathbb{P}^2$ : sólo hay que poner el $z$ -variable de $f$ igual a 1 y mira el conjunto cero de $f(x,y,1)$ en el plano afín, como hiciste antes. Este proceso se llama deshomogeneización.

Ahora puedes entender lo que estás haciendo cuando homogeneizas un polinomio en dos variables: inviertes el proceso de deshomogeneización, es decir, "recuperas" una curva que está definida en el plano proyectivo, por el conjunto cero del polinomio homogéneo. En la "parte afín" de tu plano proyectivo, tu curva se parecerá al conjunto cero del polinomio con el que empezaste.

Ejemplo: mira la línea en $\mathbb{A}^2$ definido por $ax +by + c =0$ con $a,b,c \neq 0$ . podemos homogeneizar esto a $ax +by + cz =0$ . Esta es la ecuación de una línea en $\mathbb{P}^2$ y en la parte afín $z=1$ Parece que la línea $ax +by + c =0$ . En cuanto a la parte "infinta" $z = 0$ tiene puntos adicionales: la ecuación es entonces $ax +by =0$ . Por álgebra lineal, sabes que esto tiene un espacio de soluciones unidimensional, es decir, todas las soluciones son de la forma $(\lambda d, \lambda e)$ para algunos fijos $d,e \in k$ y todos $\lambda \in k$ . Así, en la "parte infinita" de $\mathbb{P}^2$ las soluciones parecen $(\lambda d: \lambda e : 0)$ que es un solo punto en $\mathbb{P}^2$ por la relación de equivalencia definitoria. Así, homogeneizando la ecuación $ax +by + c=0$ ha permitido obtener un punto adicional de la línea en el infinito.

Answer 3

Este puede ayudar (un post de Qiaochu Yuan ). Supongamos que tiene alguna curva $C$ definido por $x^2+y^2 = 1$ en el avión $z=1$ . Queremos que cada lado de la ecuación tenga el mismo grado. Así que multiplicamos cada término del lado izquierdo por $z^0$ y el término del lado derecho por $z^2$ .

Este es también una referencia útil.

Answer 4

La ecuación homogénea debe tener [todos] los términos de igual potencia.. Por ejemplo: $$x^2 + y^2 + 2xy = 0$$

el grado de $x^2$ , $y^2$ y $xy$ es 2, por lo que la ecuación es la ecuación homogénea de 2 grados.